Um fio sólido retilíneo (muito longo) de raio R transporta uma corrente constante i. Sabendo-se que a corrente é distribuída de forma homogênea em uma dada seção reta do fio, calcule o campo magnético em todos pontos do espaço.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem um fio cilíndrico, bem longo, de raio oint C Bcdot dboldsymbolell ;=;mu0,Ienc , que carrega uma corrente constante J = ipi R^2 . Essa corrente não fica toda concentrada no eixo: ela está distribuída de maneira homogênea em toda seção do fio. A tarefa é calcular o campo magnético em qualquer ponto do espaço (tanto dentro do fio quanto fora dele).
Conteúdo: magnetostática, Lei de Ampère e densidade de corrente.
O que vamos usar:
  • A simetria cilíndrica do problema (o campo só depende da distância radial ao eixo e é tangencial);
  • A Lei de Ampère:
  • A densidade de corrente uniforme no fio:

Passo 2

Primeiro, a simetria: por ser um fio infinito e bem uniforme, o campo magnético só pode “circular” em volta do eixo (direção oint Bcdot dboldsymbolell ;=; B(r),(2pi r) ;=;mu0,Irm enc(r) ) e seu módulo depende apenas da distância ao centro. Então, escolhemos uma amperiana (caminho de Ampère) que é um círculo de raio , no plano perpendicular ao fio. Nesse circuito fechado de comprimento , a Lei de Ampère vira:

Passo 3

Agora vamos ao caso “dentro do fio”, isto é, para Irm enc(r) ;=; J times (área do círculo de raio r) ;=;ipi R^2;times;pi r^2 ;=;i,r^2R^2 .
  1. A densidade de corrente é B(r),(2pi r) ;=;mu0,l(i,r^2R^2r) Longrightarrow B(r) ;=;mu0,i2pi;rR^2 (para r.
  2. A corrente que atravessa a área interna ao nosso círculo de raio é
áí
  1. Substituindo na Lei de Ampère:

Passo 4

Agora o “lado de fora” do fio, Irm enc(r)=i .
  1. Toda a corrente B(r),(2pi r) ;=;mu0,i Longrightarrow B(r) ;=;mu0,i2pi,r (para r>= R) está dentro do círculo de raio , então
  1. Lei de Ampère:

Resposta

O campo magnético em todo o espaço é dado por
boxed B(r) = mu0,i2pi,rR^2,hatphi &se r= R
Aqui indica a direção tangencial (circular) em torno do fio, seguindo a regra da mão direita.

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