Um arco-íris comum exibe diversas cores. Contudo, quando as gotas de água são suficientemente pequenas, o arco-íris exibe uma cor branca. Aplicando os conceitos da difração, explique por quê. Qual é o diâmetro mínimo das gotas para que isso ocorra?

Passo 1

O enunciado pergunta por que, quando as gotas de água são muito pequenas, o arco-íris deixa de mostrar cores separadas e fica branco, e pede o diâmetro mínimo das gotas para que essa “mistura” por difração ocorra. O conteúdo é óptica de difração por abertura circular (gota) e separação angular das cores no arco-íris.

Passo 2

No arco-íris primário, cada cor aparece num ângulo ligeiramente diferente em torno de cerca de 42^\circ. A separação angular entre vermelho e violeta vale aproximadamente
\Delta\theta_{\text{arco}}\approx 2^\circ\approx0,035\text{ rad}.
Para gotas grandes, essa diferença de ângulo gera faixas coloridas distintas.

Passo 3

Uma gota muito pequena causa difração de Fraunhofer equivalente à de uma abertura circular de diâmetro D. O lóbo central da figura de difração (Airy disk) tem largura angular dada por
\Delta\theta_{\mathrm{dif}} \approx 1,22\,\frac{\lambda}{D},
onde \lambda é o comprimento de onda da luz (vamos usar o valor médio \lambda\approx5{,}5\times10^{-7}\,\text{m}).

Passo 4

Para que as cores se misturem em branco, a largura angular da difração deve ser igual ou maior que a separação das cores no arco, ou seja
\Delta\theta_{\mathrm{dif}}\gtrsim\Delta\theta_{\text{arco}} \quad\Longrightarrow\quad 1,22\,\frac{\lambda}{D}\gtrsim\Delta\theta_{\text{arco}}.

Passo 5

Isolando D e substituindo os valores:
D \lesssim \frac{1,22\,\lambda}{\Delta\theta_{\text{arco}}} = \frac{1,22\times5{,}5\times10^{-7}}{0,035} \approx1{,}9\times10^{-5}\,\text{m}\approx20\,\mu\text{m}.

Resposta

O arco-íris fica branco quando o diâmetro das gotas satisfaz
D\lesssim20\,\mu\text{m},
pois aí a difração espalha cada cor numa faixa angular maior que a separação típica das cores, fazendo-as se sobrepor e aparecerem brancas.

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