0 arco da parábola entre e é girado ao redor do eixo . Calcule a área da superfície de revoluçao
(a) integrando com relação a ;
(b) integrando com relação a .
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar o arco da parábola
em torno do eixo . O conteúdo é “área de superfície de revolução” e usaremos a fórmula
onde, ao girar em torno de , o raio é e
se integrarmos em , ou
se integrarmos em .
Passo 2
(a) Em função de temos
logo
Então a área é
Passo 3
Para avaliar
fazemos a substituição padrão ou lembramos que
logo
Como (8p^2)^3/2=16raiz2,p^3 e (4p^2)^3/2=8p^3, tem-se
S =pipcdot13l(16raiz2,p^3-8p^3r) =8pi p^23l(2raiz2-1r)
Passo 4
(b) Em função de y escrevemos
x=2raizp,y,
de onde
dxdy=raiz praiz y, ds=raiz1+l(raiz praiz yr)^2,dy =raizy+py;dy
O raio continua sendo x, então
S =2piintegral0^px,ds =2piintegral0^p2raizp,y;raizy+py;dy =4piraiz pintegral0^praizy+p;dy