0 arco da parábola x^2=4 p y entre (0,0) e (2 p, p), p>0 é girado ao redor do eixo y. Calcule a área da superfície de revoluçao
(a) integrando com relação a x;
(b) integrando com relação a y.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar o arco da parábola
x^2=4p,y, 0<= x<= 2p,;0<= y<= p
em torno do eixo y. O conteúdo é “área de superfície de revolução” e usaremos a fórmula
S = 2piintegral r,ds,
onde, ao girar em torno de y, o raio é r=x e
ds = raiz1+l(f'(x)r)^2,dx
se integrarmos em x, ou
ds = raiz1+l(x'(y)r)^2,dy
se integrarmos em y.

Passo 2

(a) Em função de x temos
y=x^24p,
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dydx=x2p, ds=raiz1+l(x2pr)^2;dx =raiz4p^2+x^22p;dx
Então a área é
S =2piintegral0^2px,ds =2piintegral0^2px;raiz4p^2+x^22p,dx =pipintegral0^2pxraiz4p^2+x^2;dx

Passo 3

Para avaliar
integral xraiz4p^2+x^2;dx
fazemos a substituição padrão ou lembramos que
ddxl(4p^2+x^2r)^3/2 =3xraiz4p^2+x^2,
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integral0^2pxraiz4p^2+x^2;dx =13l(4p^2+x^2r)^3/2|0^2p =13l[(8p^2)^3/2-(4p^2)^3/2r]
Como (8p^2)^3/2=16raiz2,p^3 e (4p^2)^3/2=8p^3, tem-se
S =pipcdot13l(16raiz2,p^3-8p^3r) =8pi p^23l(2raiz2-1r)

Passo 4

(b) Em função de y escrevemos
x=2raizp,y,
de onde
dxdy=raiz praiz y, ds=raiz1+l(raiz praiz yr)^2,dy =raizy+py;dy
O raio continua sendo x, então
S =2piintegral0^px,ds =2piintegral0^p2raizp,y;raizy+py;dy =4piraiz pintegral0^praizy+p;dy

Passo 5

Para
integral0^praizy+p;dy
fazemos u=y+p, du=dy, u vai de p a 2p. Então
integral0^praizy+p;dy =integralp^2praiz u;du =23l[(2p)^3/2-p^3/2r] =23(2raiz2-1)p^3/2
Logo
S =4piraiz p;23(2raiz2-1)p^3/2 =8pi p^23(2raiz2-1),
que coincide com o resultado de (a).

Resposta

boxedS=8pi p^23,l(2raiz2-1r)

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