Calcule, caso exista, cada limite abaixo.
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
.
Este é um limite de função de duas variáveis em . Para investigar se ele existe, vamos usar coordenadas polares e também verificar caminhos específicos.

Passo 2

Em coordenadas polares tomamos
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e theta é o ângulo. Substituindo na função, temos
x,yx^2+y^2 = rcostheta;cdot;rsinthetar^2cos^2theta + r^2sin^2theta = r^2costhetasinthetar^2 = costheta,sintheta

Passo 3

Note que o valor costheta,sintheta não depende de r (logo não muda ao aproximar de 0 em módulo), mas depende de theta. Isso indica que o limite pode variar conforme a direção pela qual (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 4

Escolhendo direções diferentes:
– Se y=x, então theta=pi/4 e
costheta,sintheta = costfracpi4,sintfracpi4 = raiz22,raiz22 = tfrac12
– Se y=-x, então theta=-pi/4 e
costheta,sintheta = cosl(-tfracpi4r),sinl(-tfracpi4r) = raiz22,l(-tfracraiz22r) = -tfrac12
Como obtemos valores diferentes ( tfrac12 e -tfrac12), o limite depende da trajetória.

Resposta

O limite não existe.

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