Considere a regiao sob 0 gráfico de
para
. Embora essa região tenha área infinita, mostre que o sólido de revolução obtido girando essa região ao redor do eixo
tenha volume finito e calcule esse volume.
Passo 1
O enunciado considera a região no plano limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pelas retas
e
. Embora a área dessa região seja infinita, ao girá-la em torno do eixo
obtemos um sólido cuja volume pode ser finito. Para resolver usamos integrais impróprias e o método dos discos para volumes de revolução.
Passo 2
A área
sob o gráfico de
de
até
é dada por
Para um limite superior
temos
e como
quando
, concluímos que
.
Passo 3
Para o volume
do sólido de revolução, cada seção perpendicular ao eixo
é um círculo de raio
e área
. Assim o volume é
Passo 4
Calculamos a integral imprópria
Passo 5
Portanto,
ou seja, o volume do sólido de revolução é finito e igual a
.
Resposta
O volume vale
.