Considere a regiao sob 0 gráfico de y=1x para x >= 1. Embora essa região tenha área infinita, mostre que o sólido de revolução obtido girando essa região ao redor do eixo x tenha volume finito e calcule esse volume.

Passo 1

O enunciado considera a região no plano limitada pelo gráfico de y=1x, pelo eixo x e pelas retas x=1 e xtoinfty. Embora a área dessa região seja infinita, ao girá-la em torno do eixo x obtemos um sólido cuja volume pode ser finito. Para resolver usamos integrais impróprias e o método dos discos para volumes de revolução.

Passo 2

A área A sob o gráfico de y=1/x de x=1 até xtoinfty é dada por
A = integral1^infty 1x,dx
Para um limite superior T temos
integral1^T 1x,dx = [ln x]1^T = ln T
e como ln Ttoinfty quando Ttoinfty, concluímos que A=infty.

Passo 3

Para o volume V do sólido de revolução, cada seção perpendicular ao eixo x é um círculo de raio
R(x)=1x
e área pi R(x)^2 = pi/x^2. Assim o volume é
V = integral1^infty pi ,1x^2,dx = pi integral1^infty 1x^2,dx

Passo 4

Calculamos a integral imprópria
integral1^infty 1x^2,dx = limTtoinftyintegral1^T x^-2,dx = limTtoinftyl[-tfrac1xr]1^T = limTtoinftyl(-tfrac1T+1r) =1

Passo 5

Portanto,
V = pi times 1 = pi
ou seja, o volume do sólido de revolução é finito e igual a pi.

Resposta

O volume vale pi.

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