Calcule a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y=e^x, y=0, x=0 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar em torno do eixo x a região limitada por ,y=e^x, y=0, x=0 e x=1. O conteúdo aqui é área de superfície de revolução, cuja fórmula é
S ;=; 2piintegrala^by,raiz1+(y')^2;dx

Passo 2

Neste caso temos y=e^x, logo
y' ;=;dydx=e^x
Substituindo na fórmula de S obtemos
S ;=;2piintegral0^1e^x,raiz1+l(e^xr)^2;dx ;=; 2piintegral0^1e^x,raiz1+e^2x;dx

Passo 3

Para simplificar a integral fazemos a troca de variável
t = e^x, dt = e^x,dx,
e quando x=0 temos t=1, e quando x=1 temos t=e. Assim
S =2piintegralt=1^t=eraiz1+t^2;dt

Passo 4

A primitiva de raiz1+t^2 é dada por
integralraiz1+t^2;dt = 12l(traiz1+t^2+lnl(t+raiz1+t^2r)r)+C
Logo
S =2pi[12l(traiz1+t^2+lnl(t+raiz1+t^2r)r)]1^e

Passo 5

Avaliamo o valor entre os limites:
S =pil[eraiz1+e^2+lnl(e+raiz1+e^2r) -l(1cdotraiz2+lnl(1+raiz2r)r)r]

Resposta

S = pil(eraiz1+e^2-raiz2+lne+raiz1+e^21+raiz2r)

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