1. Um arco tem a forma de uma semi-elipse com 48 metros de largura na base e 20 metros de altura. Determine o comprimento de uma viga colocada a 10 metros da base, paralelamente a mesma.

Passo 1

O enunciado descreve uma semi-elipse de largura 48 m na base e altura 20 m, e pede o comprimento de uma viga colocada a 10 m da base, paralelamente a ela. O conteúdo aqui é geometria analítica: modelar a semi-elipse por uma equação canônica e determinar a interseção horizontal a uma certa altura.

Passo 2

Na forma canônica de uma elipse centrada na origem, a semi-elipse superior satisfaz
x^2a^2+y^2b^2=1,
onde 2a=48 m e b=20 m. Logo
a=24, b=20

Passo 3

Para uma reta horizontal em y=y0 com |y0|<= b, os pontos de interseção têm abscissas
x=pm araiz1-l(y0br)^2

Passo 4

Aqui queremos y0=10. Substituindo,
x=pm 24raiz1-l(1020r)^2 =pm 24raiz1-tfrac14 =pm 24raiztfrac34 =pm 24cdotraiz32 =pm 12raiz3

Passo 5

O comprimento da viga é a distância entre x=-12raiz3 e x=+12raiz3, ou seja
L = 2cdot 12raiz3 = 24raiz3 (m)

Resposta

O comprimento da viga é 24raiz3 m (aproximadamente 41,57 m).

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