Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
9. Determine a interseção entre a elipse de vértices ( pm 5,0) e (0, pm 1) e a circunferência x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado nos dá os vértices da elipse em (pm5,0) e em (0,pm1), e pede que a gente encontre a sua equação canônica, os elementos principais (centro, vértices, focos, excentricidade e eixos) e depois determine a interseção dessa elipse com a circunferência ;x^2+y^2=4. Vamos usar a definição de elipse canônica e resolver o sistema de equações.

Passo 2

Como os vértices estão em (pm5,0), temos semieixo maior a=5 ao longo do eixo x. Os co-vértices em (0,pm1) dão semieixo menor b=1 no eixo y. Assim a equação canônica é
x^2a^2+y^2b^2=1
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x^225+y^2=1

Passo 3

Elementos principais:
  • Centro: (0,0).
  • Vértices: (pm a,0)=(pm5,0) e (0,pm b)=(0,pm1).
  • Focos: c^2=a^2-b^2=25-1=24, logo c=raiz24=2raiz6, isto é (pm2raiz6,0).
  • Excentricidade: e=c/a=tfrac2raiz65.
  • Eixos: maior (horizontal) de comprimento 2a=10; menor (vertical) de comprimento 2b=2.
    Esboço qualitativo: é uma elipse bem alongada no sentido horizontal, centrada na origem, cruzando o círculo de raio 2 em quatro pontos simétricos.

Passo 4

Para achar as interseções, resolvemos o sistema
x^225+y^2=1, x^2+y^2=4
Da segunda, y^2=4-x^2. Substituindo na primeira:
x^225+(4-x^2)=1 Longrightarrow x^225-x^2=-3 Longrightarrow x^2l(tfrac125-1r)=-3 Longrightarrow x^2=7524=258

Passo 5

Logo
x=pmraiz258=pm5raiz24, y^2=4-258=78,
y=pmraiz78=pmraiz144
As quatro interseções são
l(pmtfrac5raiz24,;pmtfracraiz144r)

Resposta

Equação da elipse: x^225+y^2=1
Centro: (0,0).
Vértices: (pm5,0) e (0,pm1).
Focos: (pm2raiz6,0).
Excentricidade: e=tfrac2raiz65
Eixos: maior horizontal de comprimento 10, menor vertical de comprimento 2
Interseções com x^2+y^2=4:
l(pmtfrac5raiz24,,pmtfracraiz144r)

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