Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
9. Determine a interseção entre a elipse de vértices e e a circunferência .
Passo 1
O enunciado nos dá os vértices da elipse em e em , e pede que a gente encontre a sua equação canônica, os elementos principais (centro, vértices, focos, excentricidade e eixos) e depois determine a interseção dessa elipse com a circunferência . Vamos usar a definição de elipse canônica e resolver o sistema de equações.
Passo 2
Como os vértices estão em , temos semieixo maior ao longo do eixo . Os co-vértices em dão semieixo menor no eixo . Assim a equação canônica é
logo
Passo 3
Elementos principais:
Centro: .
Vértices: e .
Focos: , logo , isto é .
Excentricidade: .
Eixos: maior (horizontal) de comprimento ; menor (vertical) de comprimento .
Esboço qualitativo: é uma elipse bem alongada no sentido horizontal, centrada na origem, cruzando o círculo de raio 2 em quatro pontos simétricos.
Equação da elipse: x^225+y^2=1
Centro: (0,0).
Vértices: (pm5,0) e (0,pm1).
Focos: (pm2raiz6,0).
Excentricidade: e=tfrac2raiz65
Eixos: maior horizontal de comprimento 10, menor vertical de comprimento 2
Interseções com x^2+y^2=4: l(pmtfrac5raiz24,,pmtfracraiz144r)