Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
(a) Focos
e soma dos raios focais igual a 12 .
(a) Focos
Passo 1
O enunciado dá uma elipse cujos focos são
e
e cuja soma dos raios focais é
. Estamos tratando de elipses no plano cartesiano com eixo maior horizontal. Para resolver precisamos usar a definição
identificar
, calcular
(metade da distância entre os focos), depois obter
por
e então escrever a equação canônica, encontrar centro, vértices, co-vértices, focos e excentricidade.
Passo 2
A soma dos raios focais é
, logo
O centro
é o ponto médio entre os focos:
A distância focal
é a distância entre
e
, ou seja
, daí
Passo 3
Calculamos
usando
Passo 4
A equação canônica de uma elipse centrada em
com eixo maior no eixo
é
Substituindo
e
fica
Passo 5
Elementos principais:
– Centro: .
– Focos: ,
.
– Vértices (extremos do eixo maior): .
– Co-vértices (extremos do eixo menor): .
– Excentricidade:
– Centro:
– Focos:
– Vértices (extremos do eixo maior):
– Co-vértices (extremos do eixo menor):
– Excentricidade:
– Comprimento do eixo maior:
.
– Comprimento do eixo menor: .
– Comprimento do eixo menor:
Passo 6
Esboço do gráfico (plano
):
– Desenhe os eixos e marque o centro em .
– Marque os vértices em e
.
– Marque as co-vértices em e
.
– Marque os focos em e
.
– Trace uma curva suave passando pelos vértices, tocando as co-vértices, simétrica em relação aos eixos.
– Desenhe os eixos e marque o centro em
– Marque os vértices em
– Marque as co-vértices em
– Marque os focos em
– Trace uma curva suave passando pelos vértices, tocando as co-vértices, simétrica em relação aos eixos.
Resposta
Equação:
Centro:
.
Focos: e
.
Vértices: ,
.
Co-vértices: ,
.
Excentricidade: .
Eixos: maior de comprimento no
, menor de comprimento
no
.
Focos:
Vértices:
Co-vértices:
Excentricidade:
Eixos: maior de comprimento