Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
(a) Focos F1(3,0), F2(-3,0) e soma dos raios focais igual a 12 .

Passo 1

O enunciado dá uma elipse cujos focos são F1(3,0) e F2(-3,0) e cuja soma dos raios focais é 12. Estamos tratando de elipses no plano cartesiano com eixo maior horizontal. Para resolver precisamos usar a definição
d(P,F1) + d(P,F2) = 2a,
identificar a, calcular c (metade da distância entre os focos), depois obter b por
b = raiza^2-c^2,
e então escrever a equação canônica, encontrar centro, vértices, co-vértices, focos e excentricidade.

Passo 2

A soma dos raios focais é 2a = 12, logo
a = 6
O centro C é o ponto médio entre os focos:
C = l(tfrac3+(-3)2,;0r) = (0,0)
A distância focal 2c é a distância entre F1 e F2, ou seja 6, daí
c = 3

Passo 3

Calculamos b usando
b = raiza^2-c^2 = raiz6^2-3^2 = raiz36 - 9 = raiz27 = 3raiz3

Passo 4

A equação canônica de uma elipse centrada em (0,0) com eixo maior no eixo x é
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Substituindo a^2=36 e b^2=27 fica
x^236 + y^227 = 1

Passo 5

Elementos principais:
– Centro: C=(0,0).
– Focos: F1=(3,0), F2=(-3,0).
– Vértices (extremos do eixo maior): (pm a,0)=(pm6,0).
– Co-vértices (extremos do eixo menor): (0,pm b)=(0,pm3raiz3).
– Excentricidade:
e = ca = 36 = tfrac12
– Comprimento do eixo maior: 2a=12.
– Comprimento do eixo menor: 2b = 6raiz3.

Passo 6

Esboço do gráfico (plano xy):
– Desenhe os eixos e marque o centro em (0,0).
– Marque os vértices em (6,0) e (-6,0).
– Marque as co-vértices em (0,3raiz3) e (0,-3raiz3).
– Marque os focos em (3,0) e (-3,0).
– Trace uma curva suave passando pelos vértices, tocando as co-vértices, simétrica em relação aos eixos.

Resposta

Equação:
x^236 + y^227 = 1
Centro: (0,0).
Focos: (3,0) e (-3,0).
Vértices: (6,0), (-6,0).
Co-vértices: (0,3raiz3), (0,-3raiz3).
Excentricidade: e=tfrac12.
Eixos: maior de comprimento 12 no x, menor de comprimento 6raiz3 no y.

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