Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
2. Determine a equação e a excentricidade da elipse que tem seu centro na origem, um dos vértices no ponto B1(0,-7) e passa no ponto A(raiz5, 14 / 3).

Passo 1

O enunciado pede a elipse de centro na origem, com um vértice em B1(0,-7) e que passa pelo ponto A(raiz5,14/3). O conteúdo envolvido é a equação canônica da elipse centrada na origem
x^2b^2+y^2a^2=1
quando o eixo maior é vertical (isto é, a>b). Vamos usar o fato de que o vértice em (0,-7) indica a=7, e depois impor a passagem por A para achar b.

Passo 2

Como o vértice está em y=-7, temos
a=7, a^2=49,
e a equação da elipse é
x^2b^2+y^249=1

Passo 3

Substituindo o ponto A(raiz5,,14/3) nessa equação:
(raiz5)^2b^2+l(14/3r)^249=1 Longrightarrow 5b^2+196/949=1 Longrightarrow 5b^2+49=1
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5b^2=59 Longrightarrow b^2=9,
isto é, b=3.

Passo 4

Agora calculamos a distância focal
c=raiza^2-b^2=raiz49-9=raiz40=2raiz10,
e a excentricidade
e=ca=2raiz107

Passo 5

Os elementos principais e o esboço são:
Centro: (0,0).
Vértices do eixo maior: l(0,pm7r).
Vértices do eixo menor: l(pm3,0r).
Focos: l(0,pm2raiz10r).
Eixo maior: segmento vertical de comprimento 2a=14.
Eixo menor: segmento horizontal de comprimento 2b=6.
Esboço: uma elipse mais “esticada” na vertical, interceptando os eixos nos pontos acima.

Resposta

Equação da elipse:
x^29+y^249=1
Excentricidade:
e=2raiz107

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