Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
2. Determine a equação e a excentricidade da elipse que tem seu centro na origem, um dos vértices no ponto
e passa no ponto
.
2. Determine a equação e a excentricidade da elipse que tem seu centro na origem, um dos vértices no ponto
Passo 1
O enunciado pede a elipse de centro na origem, com um vértice em
e que passa pelo ponto
. O conteúdo envolvido é a equação canônica da elipse centrada na origem
quando o eixo maior é vertical (isto é,
). Vamos usar o fato de que o vértice em
indica
, e depois impor a passagem por
para achar
.
Passo 2
Como o vértice está em
, temos
e a equação da elipse é
Passo 3
Substituindo o ponto
nessa equação:
logo
isto é,
.
Passo 4
Agora calculamos a distância focal
e a excentricidade
Passo 5
Os elementos principais e o esboço são:
Centro: .
Vértices do eixo maior: .
Vértices do eixo menor: .
Focos: .
Eixo maior: segmento vertical de comprimento .
Eixo menor: segmento horizontal de comprimento .
Esboço: uma elipse mais “esticada” na vertical, interceptando os eixos nos pontos acima.
Centro:
Vértices do eixo maior:
Vértices do eixo menor:
Focos:
Eixo maior: segmento vertical de comprimento
Eixo menor: segmento horizontal de comprimento
Esboço: uma elipse mais “esticada” na vertical, interceptando os eixos nos pontos acima.
Resposta
Equação da elipse:
Excentricidade: