Considere a função trigonométrica \mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos (3 \mathrm{x}). No intervalo real de 0 a 2 \pi radianos, essa função apresenta um números de raízes igual a
(A) 3 .
(B) 5 .
(C) 6 .
(D) 2 .
(E) 4 .

Passo 1

O enunciado nos dá a função trigonométrica \mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos(3\mathrm{x}) e pede: “No intervalo real de 0 a 2\pi radianos, essa função apresenta um número de raízes igual a … ?”
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos(3\mathrm{x}).
  • O intervalo considerado é [0,2\pi].
  • Precisamos contar quantos valores de x em [0,2\pi] satisfazem \cos(3\mathrm{x})=0.

Passo 2

Entendendo a equação que devemos resolver: raízes são pontos onde a função vale zero, ou seja precisamos resolver
\cos(3\mathrm{x})=0.
Fato importante (fórmula que usamos): para qualquer número real \theta,
\cos\theta=0 \iff \theta=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\text{com }k\in\mathbb{Z}.
Explicação intuitiva: no círculo trigonométrico a função cosseno é zero quando o ângulo aponta exatamente para cima ou para baixo, que correspondem a \theta=\frac{\pi}{2} e \theta=\frac{3\pi}{2}; adicionando múltiplos inteiros de \pi obtemos todas as ocorrências periódicas.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, identificamos \theta=3\mathrm{x}. Assim as soluções gerais são
3\mathrm{x}=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Isolando \mathrm{x} obtemos
\mathrm{x}=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.
Isto nos dá uma família de valores equiespaçados (passo de \frac{\pi}{3}).

Passo 4

Agora restringimos as soluções ao intervalo [0,2\pi]. Precisamos dos inteiros k tais que
0 \le \frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3} \le 2\pi.
Subtraindo \frac{\pi}{6} e dividindo por \frac{\pi}{3} para achar o intervalo para k:
-\frac{1}{2} \le k \le \frac{11}{2}.
Os inteiros k que satisfazem isso são
k=0,1,2,3,4,5.
Portanto há 6 valores inteiros admissíveis.

Passo 5

Lista explícita das raízes correspondentes (uma boa ideia para checar e memorizar):
\begin{aligned} k=0 &\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\pi}{6},\\\ k=1 &\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\pi}{2},\\\ k=2 &\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{5\pi}{6},\\\ k=3 &\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{7\pi}{6},\\\ k=4 &\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{3\pi}{2},\\\ k=5 &\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{11\pi}{6}. \end{aligned}
Todos esses valores estão em [0,2\pi] e são soluções distintas, totalizando 6 raízes.
Uma observação prática (intuitiva): a função \cos(3\mathrm{x}) tem período \frac{2\pi}{3}, ou seja completa 3 ciclos no intervalo de comprimento 2\pi; cada ciclo de cosseno cruza o zero duas vezes, logo 3\times2=6 cruzamentos (raízes).

Passo 6

Conclusão: o número de raízes de \mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos(3\mathrm{x}) em [0,2\pi] é 6. Isto corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C) 6.

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