Considere a função trigonométrica
. No intervalo real de 0 a
radianos, essa função apresenta um números de raízes igual a
(A) 3 .
(B) 5 .
(C) 6 .
(D) 2 .
(E) 4 .
(A) 3 .
(B) 5 .
(C) 6 .
(D) 2 .
(E) 4 .
Passo 1
O enunciado nos dá a função trigonométrica
e pede: “No intervalo real de
a
radianos, essa função apresenta um número de raízes igual a … ?”
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
. - Precisamos contar quantos valores de
em satisfazem .
Passo 2
Entendendo a equação que devemos resolver: raízes são pontos onde a função vale zero, ou seja precisamos resolver
Fato importante (fórmula que usamos): para qualquer número real
,
Explicação intuitiva: no círculo trigonométrico a função cosseno é zero quando o ângulo aponta exatamente para cima ou para baixo, que correspondem a
e
; adicionando múltiplos inteiros de
obtemos todas as ocorrências periódicas.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso, identificamos
. Assim as soluções gerais são
Isolando
obtemos
Isto nos dá uma família de valores equiespaçados (passo de
).
Passo 4
Agora restringimos as soluções ao intervalo
. Precisamos dos inteiros
tais que
Subtraindo
e dividindo por
para achar o intervalo para
:
Os inteiros
que satisfazem isso são
Portanto há
valores inteiros admissíveis.
Passo 5
Lista explícita das raízes correspondentes (uma boa ideia para checar e memorizar):
Todos esses valores estão em
e são soluções distintas, totalizando
raízes.
Uma observação prática (intuitiva): a função
tem período
, ou seja completa
ciclos no intervalo de comprimento
; cada ciclo de cosseno cruza o zero duas vezes, logo
cruzamentos (raízes).
Passo 6
Conclusão: o número de raízes de
em
é
. Isto corresponde à alternativa (C).
Resposta
(C) 6.