O formato de um terreno era um triângulo equilátero cujo lado media 8 \sqrt{3} \mathrm{~m}. O terreno foi expandido prolon-gando-se um de seus lados em (35-4 \sqrt{3}) \mathrm{m} e unindo–se a extremidade desse lado que foi prolongado com o vértice do triângulo que não pertence ao lado aumentado. Com essa nova configuração, a área do terreno foi acrescida em
(A) (210+48 \sqrt{3}) \mathrm{m}^{2}
B) (210-24 \sqrt{3}) \mathrm{m}^{2}
(C) (210+12 \sqrt{3}) \mathrm{m}^{2}
(D) (210-48 \sqrt{3}) \mathrm{m}^{2}
(E) (210+24 \sqrt{3}) \mathrm{m}^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • O terreno era um triângulo equilátero cujo lado media \;8\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.
  • Esse lado foi prolongado em \;35-4\sqrt{3}\\ \mathrm{m} (ou seja, a extensão adicional tem comprimento \;35-4\sqrt{3}\\ \mathrm{m}).
  • Em seguida uniu-se a extremidade desse prolongamento com o vértice do triângulo que não pertence ao lado aumentado (isto é, ligou-se o novo ponto extremo ao vértice oposto ao lado prolongado).
  • Pergunta: de quanto foi o acréscimo da área do terreno (em \mathrm{m}^2)?
Resumo numérico que vou usar:
  • Lado inicial: \;s=8\sqrt{3}.
  • Prolongamento: \;d=35-4\sqrt{3}.
  • Pede-se: aumento da área após a ligação do novo ponto ao vértice oposto.

Passo 2

Entender a geometria da modificação e um princípio-chave de área.
Quando se prolonga o lado de um triângulo e liga-se o novo extremo ao vértice oposto, o novo triângulo formado (mesmo vértice oposto e base estendida) tem a mesma altura relativa à reta que contém a base original. Portanto o aumento da área é exatamente a área do triângulo obtido com base igual ao prolongamento \;d e com a mesma altura do triângulo original.
Lembrete e fórmula que vamos usar: a área de um triângulo é sempre
\text{área}=\tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura},á
onde “altura” é a distância perpendicular do vértice oposto até a reta que contém a base. Se duas bases são colineares (mesma reta), e os vértices opostos são o mesmo ponto, então elas compartilham a mesma altura; assim as áreas são proporcionais às bases.

Passo 3

Calcular a altura do triângulo equilátero original (a altura que vamos usar também no triângulo formado pelo prolongamento).
Para um triângulo equilátero de lado \;s, ao traçar a altura ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos isósceles do tipo 30^\circ- 60^\circ- 90^\circ. Nesses triângulos retângulos, a altura corresponde ao cateto maior e vale
\text{altura}= \frac{\sqrt{3}}{2}\,s.
Aplicando com s=8\sqrt{3}:
\text{altura}= \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 8\sqrt{3}.
Calcule passo a passo:
\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, \qquad \frac{8\cdot 3}{2}=\frac{24}{2}=12.
Logo a altura vale \;12\\ \mathrm{m}.
(Comentário amigo: deu um número inteiro, ótimo — facilita as contas.)

Passo 4

Calcular a área do triângulo original usando base e altura, só para referência e confirmar consistência.
Usando a fórmula \text{área}=\tfrac{1}{2}\cdot\text{base}\cdot\text{altura}á com base s=8\sqrt{3} e altura 12:
\text{área}_{\text{original}}=\tfrac{1}{2}\cdot 8\sqrt{3}\cdot 12.á
Calcule:
\tfrac{1}{2}\cdot 8\sqrt{3}\cdot 12 = 4\sqrt{3}\cdot 12 = 48\sqrt{3}\\ \mathrm{m}^2.
(É a fórmula conhecida \text{área}_{\text{equilátero}}=s^2\sqrt{3}/4áá; se fizer dá o mesmo resultado.)

Passo 5

Calcular o acréscimo da área: é a área do triângulo que tem como base o prolongamento \;d=35-4\sqrt{3} e a mesma altura 12.
Aplicando a fórmula:
\Delta\text{área}=\tfrac{1}{2}\cdot d\cdot\text{altura} =\tfrac{1}{2}\cdot(35-4\sqrt{3})\cdot 12.á
Calcule passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot 12 = 6,
então
\Delta\text{área}=6\cdot(35-4\sqrt{3}).á
Distribuindo:
6\cdot 35 = 210, \qquad 6\cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}.
Como é 6\cdot(35-4\sqrt{3}), temos
\Delta\text{área}=210-24\sqrt{3}\\ \mathrm{m}^2.á

Passo 6

Comparar com as alternativas fornecidas e escolher a correta.
A expressão \;210-24\sqrt{3} corresponde à alternativa (B).

Resposta

(B) \;210-24\sqrt{3}\\ \mathrm{m}^2

Exercícios relacionados