O formato de um terreno era um triângulo equilátero cujo lado media
. O terreno foi expandido prolon-gando-se um de seus lados em
e unindo–se a extremidade desse lado que foi prolongado com o vértice do triângulo que não pertence ao lado aumentado. Com essa nova configuração, a área do terreno foi acrescida em
(A)
B)
(C)
(D)
(E)
(A)
B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- O terreno era um triângulo equilátero cujo lado media
. - Esse lado foi prolongado em
(ou seja, a extensão adicional tem comprimento ). - Em seguida uniu-se a extremidade desse prolongamento com o vértice do triângulo que não pertence ao lado aumentado (isto é, ligou-se o novo ponto extremo ao vértice oposto ao lado prolongado).
- Pergunta: de quanto foi o acréscimo da área do terreno (em
)?
Resumo numérico que vou usar:
- Lado inicial:
. - Prolongamento:
. - Pede-se: aumento da área após a ligação do novo ponto ao vértice oposto.
Passo 2
Entender a geometria da modificação e um princípio-chave de área.
Quando se prolonga o lado de um triângulo e liga-se o novo extremo ao vértice oposto, o novo triângulo formado (mesmo vértice oposto e base estendida) tem a mesma altura relativa à reta que contém a base original. Portanto o aumento da área é exatamente a área do triângulo obtido com base igual ao prolongamento
e com a mesma altura do triângulo original.
Lembrete e fórmula que vamos usar: a área de um triângulo é sempre
onde “altura” é a distância perpendicular do vértice oposto até a reta que contém a base. Se duas bases são colineares (mesma reta), e os vértices opostos são o mesmo ponto, então elas compartilham a mesma altura; assim as áreas são proporcionais às bases.
Passo 3
Calcular a altura do triângulo equilátero original (a altura que vamos usar também no triângulo formado pelo prolongamento).
Para um triângulo equilátero de lado
, ao traçar a altura ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos isósceles do tipo
-
-
. Nesses triângulos retângulos, a altura corresponde ao cateto maior e vale
Aplicando com
:
Calcule passo a passo:
Logo a altura vale
.
(Comentário amigo: deu um número inteiro, ótimo — facilita as contas.)
Passo 4
Calcular a área do triângulo original usando base e altura, só para referência e confirmar consistência.
Usando a fórmula
com base
e altura
:
Calcule:
(É a fórmula conhecida
; se fizer dá o mesmo resultado.)
Passo 5
Calcular o acréscimo da área: é a área do triângulo que tem como base o prolongamento
e a mesma altura
.
Aplicando a fórmula:
Calcule passo a passo:
então
Distribuindo:
Como é
, temos
Passo 6
Comparar com as alternativas fornecidas e escolher a correta.
A expressão
corresponde à alternativa (B).
Resposta
(B)