\arcsin \left(\frac{4 \sqrt{3}}{x}\right)+\arcsin \left(\frac{2 \sqrt{3}}{x}\right)=\frac{\pi}{3}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • Enunciado: resolver a equação
\arcsin\!\left(\frac{4\sqrt{3}}{x}\right)+\arcsin\!\left(\frac{2\sqrt{3}}{x}\right)=\frac{\pi}{3}.
  • Incógnita: x (número real).
  • Restrições vindas do domínio das funções \arcsin:
    • É necessário que \left|\dfrac{4\sqrt{3}}{x}\right|\le 1 e \left|\dfrac{2\sqrt{3}}{x}\right|\le 1.
    • A segunda desigualdade é mais fraca; a que realmente importa é \left|\dfrac{4\sqrt{3}}{x}\right|\le 1, ou seja |x|\ge 4\sqrt{3}.
  • O enunciado pede todos os valores de x reais que satisfazem a igualdade acima (se houver mais de um, listar todos).

Passo 2

Plano e observações sobre as funções envolvidas (aula rápida e intuitiva).
  • Definição: \arcsin(y) é o ângulo \theta em \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] tal que \sin\theta=y.
  • Se eu definir \alpha=\arcsin\!\left(\frac{4\sqrt{3}}{x}\right),\qquad \beta=\arcsin\!\left(\frac{2\sqrt{3}}{x}\right),então \sin\alpha=\dfrac{4\sqrt{3}}{x} e \sin\beta=\dfrac{2\sqrt{3}}{x}.
  • Como \alpha,\beta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], temos \cos\alpha\ge0 e \cos\beta\ge0. Isso permite substituir \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} e \cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta} escolhendo as raízes positivas — ponto importante para não errar no sinal.
  • Vou usar a fórmula da soma de seno: \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,e também a fórmula para o cosseno da soma: \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.Como o lado direito da equação é \dfrac{\pi}{3}, é útil lembrar que \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.

Passo 3

Escrevendo as expressões em termos de x (e simplificando com t=\dfrac{1}{x} para ficar mais leve).
  • Colocando t=\dfrac{1}{x} temos \sin\alpha=4\sqrt{3}\,t,\qquad \sin\beta=2\sqrt{3}\,t.As expressões para os cossenos (positivos) são \cos\alpha=\sqrt{1-(4\sqrt{3}\,t)^2}=\sqrt{1-48t^2}, \qquad \cos\beta=\sqrt{1-(2\sqrt{3}\,t)^2}=\sqrt{1-12t^2}.
  • Aplicando \sin(\alpha+\beta)=\sin(\pi/3)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} obtemos 4\sqrt{3}\,t\cdot\sqrt{1-12t^2}+2\sqrt{3}\,t\cdot\sqrt{1-48t^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.Dividindo por \sqrt{3} (positivo) fica 4t\sqrt{1-12t^2}+2t\sqrt{1-48t^2}=\frac{1}{2}.(Vou usar também a equação para o cosseno abaixo, porque com as duas conseguimos eliminar radicais de forma mais direta.)

Passo 4

Usando a fórmula do cosseno da soma para obter uma equação sem termos lineares em raízes (passo chave).
  • Temos \cos(\alpha+\beta)=\cos(\pi/3)=\dfrac{1}{2}. Substituindo: \sqrt{1-48t^2}\,\sqrt{1-12t^2} - (4\sqrt{3}\,t)(2\sqrt{3}\,t)=\frac{1}{2}.
  • Calcule o produto (4\sqrt{3}\,t)(2\sqrt{3}\,t)=24t^2. Assim \sqrt{1-48t^2}\,\sqrt{1-12t^2}= \frac{1}{2}+24t^2.
  • Agora podemos elevar ao quadrado ambos os lados (atenção: aqui pode entrar solução extraviada por causa do quadrado, por isso depois verificamos as soluções no original). Elevando ao quadrado: (1-48t^2)(1-12t^2)=\left(\frac{1}{2}+24t^2\right)^2.
  • Expandindo ambos os lados: 1-60t^2+576t^4 = \frac{1}{4}+24t^2+576t^4.Os termos 576t^4 se cancelam, restando 1-60t^2=\frac{1}{4}+24t^2.
  • Isolando t^2: 1-\frac{1}{4}=24t^2+60t^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{4}=84t^2.Portanto t^2=\frac{3}{4\cdot 84}=\frac{3}{336}=\frac{1}{112}.

Passo 5

Obter os candidatos para x e reescrever em termos de x.
  • Como t=\dfrac{1}{x}, temos t=\pm\frac{1}{\sqrt{112}}=\pm\frac{1}{4\sqrt{7}}.Logo os candidatos para x são x=\pm 4\sqrt{7}.

Passo 6

Verificação das soluções candidatas no domínio e na equação original (eliminação de extraneous).
  • Primeiro checar domínio: precisamos \left|\dfrac{4\sqrt{3}}{x}\right|\le 1, isto é |x|\ge 4\sqrt{3}.
    • Para x=\pm 4\sqrt{7} temos |x|=4\sqrt{7}. Como \sqrt{7}>\sqrt{3}, |x|=4\sqrt{7}>4\sqrt{3}. Então ambos passam no teste de domínio.
  • Agora testar se cada candidato satisfaz a equação original (lembrando que ao quadricular podemos ter introduzido soluções que não satisfazem a soma de arcos original).
    • Para x=4\sqrt{7}>0: então \sin\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{3}{7}},\qquad \sin\beta=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{7}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{7}}.Calculamos as raízes usadas antes explicitamente com t^2=\dfrac{1}{112}: \sqrt{1-48t^2}=\sqrt{1-\frac{48}{112}}=\sqrt{\frac{4}{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}, \qquad \sqrt{1-12t^2}=\sqrt{1-\frac{12}{112}}=\sqrt{\frac{25}{28}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}.Então \sin(\alpha+\beta) =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta =\sqrt{\frac{3}{7}}\cdot\frac{5}{2\sqrt{7}}+\frac{2}{\sqrt{7}}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{7}}.Simplificando: =\frac{5\sqrt{3}}{14}+\frac{\sqrt{3}}{7}=\frac{5\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{14}=\frac{7\sqrt{3}}{14}=\frac{\sqrt{3}}{2}.E também já vimos (no cálculo anterior) que \cos(\alpha+\beta)=\dfrac{1}{2}. Assim \alpha+\beta tem seno \dfrac{\sqrt{3}}{2} e cosseno \dfrac{1}{2}, logo \alpha+\beta=\dfrac{\pi}{3}. Portanto x=4\sqrt{7} satisfaz a equação original.
    • Para x=-4\sqrt{7}<0: as frações \dfrac{4\sqrt{3}}{x} e \dfrac{2\sqrt{3}}{x} ficam negativas, então \alpha e \beta são ambos negativos (valores em \left[-\tfrac{\pi}{2},0\right)). Logo \alpha+\beta é negativo, portanto não pode ser \dfrac{\pi}{3}>0. Assim x=-4\sqrt{7} não satisfaz a equação original (é raiz extraviada introduzida pela elevação ao quadrado).

Passo 7

Conclusão final: o único x real que resolve a equação e respeita o domínio é
x=4\sqrt{7}.

Resposta

x=4\sqrt{7}

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