4- (1,0 pontos) (UFRJ) Considere o polinômio
dado por:
Sabendo que
é uma raiz, encontre as demais raízes.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e informa que
é uma raiz. A pergunta é: encontrar as demais raízes de
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- O polinômio é de grau
, logo haverá exatamente 4 raízes (contando multiplicidade) no conjunto dos complexos. - Foi dada uma raiz complexa
.
Passo 2
Observação importante (útil para a solução): como os coeficientes de
são números reais, quando uma raiz complexa aparece, sua conjugada complexa também é raiz. Assim, se
é raiz, então
também é raiz. Portanto
é um fator de
.
Passo 3
Vamos então escrever
como produto de
por outro polinômio quadrático desconhecido e determinar esse quadrático por comparação de coeficientes. Escrevemos
Como o coeficiente líder de
é
, temos imediatamente
. Expandindo com
obtemos
Comparando com
, igualamos coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Verificação do termo
e do termo independente: com e já temos e , que conferem com .
Logo
Passo 4
Agora resolvemos as equações quadráticas separadamente para obter as raízes.
- Da fator
:
- Do fator
. Usamos a fórmula quadrática
Como
, temos
Passo 5
Portanto todas as raízes (contando as já deduzidas) são
. Essas quatro raízes somam as soluções do polinômio de grau
dado.