4- (1,0 pontos) (UFRJ) Considere o polinômio p dado por:
p(x)=x^{4}-4 x^{3}+6 x^{2}-4 x+5
Sabendo que i é uma raiz, encontre as demais raízes.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^{4}-4 x^{3}+6 x^{2}-4 x+5
e informa que \,i é uma raiz. A pergunta é: encontrar as demais raízes de p.
Informações relevantes que temos:
  • O polinômio é de grau 4, logo haverá exatamente 4 raízes (contando multiplicidade) no conjunto dos complexos.
  • Foi dada uma raiz complexa \,i.

Passo 2

Observação importante (útil para a solução): como os coeficientes de p são números reais, quando uma raiz complexa aparece, sua conjugada complexa também é raiz. Assim, se \,i é raiz, então -i também é raiz. Portanto \,x^{2}+1 é um fator de p(x).

Passo 3

Vamos então escrever p(x) como produto de \,x^{2}+1 por outro polinômio quadrático desconhecido e determinar esse quadrático por comparação de coeficientes. Escrevemos
p(x)=(x^{2}+1)(ax^{2}+bx+c).
Como o coeficiente líder de p é 1, temos imediatamente a=1. Expandindo com a=1 obtemos
(x^{2}+1)(x^{2}+bx+c)=x^{4}+bx^{3}+(c+1)x^{2}+bx+c.
Comparando com p(x)=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+5, igualamos coeficientes:
  • Coeficiente de x^{3}: b=-4.
  • Coeficiente de x^{2}: c+1=6 \Rightarrow c=5.
  • Verificação do termo x e do termo independente: com b=-4 e c=5 já temos bx=-4x e c=5, que conferem com p(x).
    Logo
p(x)=(x^{2}+1)(x^{2}-4x+5).

Passo 4

Agora resolvemos as equações quadráticas separadamente para obter as raízes.
  1. Da fator x^{2}+1=0:
x^{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad x=i \quad\text{ou}\quad x=-i.
  1. Do fator x^{2}-4x+5=0. Usamos a fórmula quadrática
x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1} =\frac{4\pm\sqrt{16-20}}{2} =\frac{4\pm\sqrt{-4}}{2}.
Como \sqrt{-4}=2i, temos
x=\frac{4\pm 2i}{2}=2\pm i.

Passo 5

Portanto todas as raízes (contando as já deduzidas) são \,i,\,-i,\,2+i,\,2-i. Essas quatro raízes somam as soluções do polinômio de grau 4 dado.

Resposta

i
-i
2+i
2-i

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