5- (1,5 pontos) (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição (es) correta (s):
- A expressão
é um polinômio.
02 . Se
e
são raízes da equação
, então
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado apresenta duas proposições e pede: “Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s)”. As proposições são:
-
A expressão
é um polinômio. -
Se
e são raízes da equação , então .
O objetivo é verificar quais das proposições são verdadeiras e então somar os números (índices) correspondentes às proposições verdadeiras.
Passo 2
O que é um polinômio? Vou explicar devagar, como se estivéssemos na prova.
Definição prática: uma expressão algébrica é um polinômio em
quando pode ser escrita como soma finita de termos da forma
, onde
é um coeficiente (número real, racional, etc.) e
é um inteiro não negativo (
). Em palavras: os expoentes de
num polinômio devem ser números inteiros maiores ou iguais a zero; frações ou expoentes negativos não são permitidos.
Exemplo simples:
é polinômio porque os expoentes são
(todos inteiros não negativos). Já
ou
não aparecem em polinômios porque
não é inteiro e
é negativo.
Passo 3
Aplicando a definição ao item 01.
A expressão dada é
Repare que contém o termo
. O expoente desse termo é
, que é um inteiro negativo. Pela definição de polinômio vista no passo anterior, isso impede que a expressão seja um polinômio.
Conclusão do passo (sem dar a soma final ainda): a proposição 01 é falsa.
Passo 4
Agora vamos à proposição 02. Primeiro uma explicação de teoria que vou usar (Fórmulas de Viète, passo a passo).
Se um polinômio de grau 3 é monico (coeficiente líder igual a
) e tem raízes
, então ele pode ser fatorado como
Desenvolvendo essa fatoração em termos dos coeficientes, obtemos (mostro a expansão par-a-par):
Comparando com um polinômio genérico monico
vemos que os coeficientes satisfazem as relações de Viète:
Note bem: para polinômio monico de grau 3, o produto das raízes vale
(termo constante).
Passo 5
Aplicando Viète ao polinômio dado em 02.
O polinômio é
Aqui o termo constante é
(e o polinômio é monico, pois o coeficiente de
é
). Pela última fórmula de Viète que vimos,
Portanto
Logo a proposição 02 é verdadeira.
Passo 6
Resumo do que encontramos (aqui sem somar ainda): a proposição 01 é falsa e a proposição 02 é verdadeira.