5- (1,5 pontos) (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição (es) correta (s):
  1. A expressão 3 x^{5}-2 x^{4}+7 x^{3}+4 x^{2}+x^{-1}+3 é um polinômio.
02 . Se \alpha, \beta e \gamma são raízes da equação x^{3}+5 x^{2}+x+5=0, então \alpha \cdot \beta \cdot \gamma=-5

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado apresenta duas proposições e pede: “Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s)”. As proposições são:
  1. A expressão 3 x^{5}-2 x^{4}+7 x^{3}+4 x^{2}+x^{-1}+3 é um polinômio.
  2. Se \alpha,\beta e \gamma são raízes da equação x^{3}+5 x^{2}+x+5=0, então \alpha\cdot\beta\cdot\gamma=-5.
O objetivo é verificar quais das proposições são verdadeiras e então somar os números (índices) correspondentes às proposições verdadeiras.

Passo 2

O que é um polinômio? Vou explicar devagar, como se estivéssemos na prova.
Definição prática: uma expressão algébrica é um polinômio em x quando pode ser escrita como soma finita de termos da forma a_n x^n, onde
a_n
é um coeficiente (número real, racional, etc.) e
n
é um inteiro não negativo ( n\in\{0,1,2,\dots\}). Em palavras: os expoentes de x num polinômio devem ser números inteiros maiores ou iguais a zero; frações ou expoentes negativos não são permitidos.
Exemplo simples: 2x^3-5x+7 é polinômio porque os expoentes são 3,1,0 (todos inteiros não negativos). Já x^{1/2} ou x^{-1} não aparecem em polinômios porque 1/2 não é inteiro e -1 é negativo.

Passo 3

Aplicando a definição ao item 01.
A expressão dada é
3 x^{5}-2 x^{4}+7 x^{3}+4 x^{2}+x^{-1}+3.
Repare que contém o termo \,x^{-1}\,. O expoente desse termo é -1, que é um inteiro negativo. Pela definição de polinômio vista no passo anterior, isso impede que a expressão seja um polinômio.
Conclusão do passo (sem dar a soma final ainda): a proposição 01 é falsa.

Passo 4

Agora vamos à proposição 02. Primeiro uma explicação de teoria que vou usar (Fórmulas de Viète, passo a passo).
Se um polinômio de grau 3 é monico (coeficiente líder igual a 1) e tem raízes \alpha,\beta,\gamma, então ele pode ser fatorado como
(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma).
Desenvolvendo essa fatoração em termos dos coeficientes, obtemos (mostro a expansão par-a-par):
(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3 - (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + (\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)x - \alpha\beta\gamma.
Comparando com um polinômio genérico monico
x^3 + b x^2 + c x + d,
vemos que os coeficientes satisfazem as relações de Viète:
\alpha+\beta+\gamma = -b,
\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma = c,
\alpha\beta\gamma = -d.
Note bem: para polinômio monico de grau 3, o produto das raízes vale - (termo constante).

Passo 5

Aplicando Viète ao polinômio dado em 02.
O polinômio é
x^{3}+5 x^{2}+x+5=0.
Aqui o termo constante é d=5 (e o polinômio é monico, pois o coeficiente de x^3 é 1). Pela última fórmula de Viète que vimos,
\alpha\beta\gamma = -d.
Portanto
\alpha\beta\gamma = -5.
Logo a proposição 02 é verdadeira.

Passo 6

Resumo do que encontramos (aqui sem somar ainda): a proposição 01 é falsa e a proposição 02 é verdadeira.

Resposta

02

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