1. Área associada ao produto vetorial
    Sejam
    \vec{u}=(1,1,0), \quad \vec{v}=(2,-1,1)
b) Determine a área do paralelogramo formando por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
\vec{u}=(1,1,0) e \vec{v}=(2,-1,1)
e pede: determinar a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.
Informações relevantes dadas:
  • As componentes de \vec{u} são (1,1,0).
  • As componentes de \vec{v} são (2,-1,1).
  • A grandeza pedida é a área do paralelogramo gerado por esses dois vetores.

Passo 2

Ideia chave (fórmula que vamos usar): a área A do paralelogramo determinado por dois vetores em \mathbb{R}^3 é o módulo (norma) do produto vetorial desses vetores. Ou seja,
A = \|\vec{u}\times\vec{v}\|.
Explicando isto com calma: o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos \vec{u} e \vec{v}; seu comprimento vale \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Geometricamente, \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\sin\theta é exatamente a área do paralelogramo com lados \vec{u} e \vec{v}. Portanto calcular o produto vetorial e tomar sua norma nos dá a área.
Fórmula prática para o produto vetorial por componentes (expansão por determinante):
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix},
onde u_1,u_2,u_3 são as componentes de \vec{u} e v_1,v_2,v_3 as de \vec{v}. O resultado é um vetor cujas componentes são
(\;u_2 v_3 - u_3 v_2,\; -(u_1 v_3 - u_3 v_1),\; u_1 v_2 - u_2 v_1\;).
Aqui cada variável representa:
  • u_1,u_2,u_3: componentes de \vec{u};
  • v_1,v_2,v_3: componentes de \vec{v};
  • \vec{i},\vec{j},\vec{k}: vetores unitários nas direções dos eixos x,y,z.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos vetores dados: \vec{u}=(1,1,0) tem u_1=1,\;u_2=1,\;u_3=0. \vec{v}=(2,-1,1) tem v_1=2,\;v_2=-1,\;v_3=1.
Calcule as componentes do produto vetorial:
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2 v_3 - u_3 v_2,\;-(u_1 v_3 - u_3 v_1),\;u_1 v_2 - u_2 v_1\bigr).
Agora substituindo números passo a passo:
  • Componente x (primeira): u_2 v_3 - u_3 v_2 = 1\cdot 1 - 0\cdot(-1) = 1 - 0 = 1.
  • Componente y (segunda): -(u_1 v_3 - u_3 v_1) = -(1\cdot 1 - 0\cdot 2) = -(1 - 0) = -1.
  • Componente z (terceira): u_1 v_2 - u_2 v_1 = 1\cdot(-1) - 1\cdot 2 = -1 - 2 = -3.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v} = (1,-1,-3).

Passo 4

Verificação rápida (controle de erro): o produto vetorial deve ser perpendicular a ambos os vetores; checar produto escalar zero:
(1,-1,-3)\cdot(1,1,0) = 1\cdot1 + (-1)\cdot1 + (-3)\cdot0 = 1-1+0 = 0,
(1,-1,-3)\cdot(2,-1,1) = 1\cdot2 + (-1)\cdot(-1) + (-3)\cdot1 = 2+1-3 = 0.
Ambos nulos, bom sinal — cálculo consistente.

Passo 5

Agora a área do paralelogramo é a norma do vetor \vec{u}\times\vec{v}. A norma de um vetor (a,b,c) é \sqrt{a^2+b^2+c^2}. Portanto
A = \|\vec{u}\times\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+1+9} = \sqrt{11}.
Interpretação final: a área é \sqrt{11}. Num exame, fazer exatamente esses passos — calcular o produto vetorial por componentes e depois tirar a norma — é o caminho mais direto e seguro.

Resposta

\sqrt{11}

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