Área associada ao produto vetorial
Sejam \vec{u}=(1,1,0), \quad \vec{v}=(2,-1,1)
b) Determine a área do paralelogramo formando por \vec{u} e \vec{v}.
Passo 1
O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(1,1,0) e \vec{v}=(2,-1,1)
e pede: determinar a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.
Informações relevantes dadas:
As componentes de \vec{u} são (1,1,0).
As componentes de \vec{v} são (2,-1,1).
A grandeza pedida é a área do paralelogramo gerado por esses dois vetores.
Passo 2
Ideia chave (fórmula que vamos usar): a área A do paralelogramo determinado por dois vetores em \mathbb{R}^3 é o módulo (norma) do produto vetorial desses vetores. Ou seja,
A = \|\vec{u}\times\vec{v}\|.
Explicando isto com calma: o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos \vec{u} e \vec{v}; seu comprimento vale \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Geometricamente, \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\sin\theta é exatamente a área do paralelogramo com lados \vec{u} e \vec{v}. Portanto calcular o produto vetorial e tomar sua norma nos dá a área.
Fórmula prática para o produto vetorial por componentes (expansão por determinante):
Interpretação final: a área é \sqrt{11}. Num exame, fazer exatamente esses passos — calcular o produto vetorial por componentes e depois tirar a norma — é o caminho mais direto e seguro.