Área associada ao produto vetorial
Sejam \vec{u}=(1,1,0), \quad \vec{v}=(2,-1,1)
c) Sabendo que a área de um triângulo formado por dois vetores é metade da área do paralelogramo correspondente, determine a área do triângulo formado por \vec{u} e \vec{v}.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no espaço:
\vec{u}=(1,1,0),\qquad \vec{v}=(2,-1,1).
Pede especificamente a área do triângulo formado por \vec{u} e \vec{v}. Também informa (implicitamente) a relação que vamos usar: a área do triângulo é metade da área do paralelogramo formado pelos mesmos vetores.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicado passo a passo): a área do paralelogramo gerado por dois vetores \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^3 é o módulo do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Ou seja,
\text{Área do paralelogramo} = \left\|\vec{u}\times\vec{v}\right\|.
E então a área do triângulo é metade disso:
\text{Área do triângulo} = \frac{1}{2}\left\|\vec{u}\times\vec{v}\right\|.Áâ
Agora, o produto vetorial tem uma fórmula componente a componente. Se
Cada componente é uma diferença de produtos cruzados das componentes dos vetores — dá para decorar como a regra do determinante 3×3, mas aqui está a fórmula explícita para aplicar sem confusão.
Passo 3
Identificar as componentes dos vetores dados:
u_1=1,\quad u_2=1,\quad u_3=0,
v_1=2,\quad v_2=-1,\quad v_3=1.
Aplicando a fórmula do produto vetorial, calcule componente a componente:
Isto é a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.
Passo 5
Finalmente, a área do triângulo formado por \vec{u} e \vec{v} é metade da área do paralelogramo:
\text{Área do triângulo}=\frac{1}{2}\left\|\vec{u}\times\vec{v}\right\|=\frac{1}{2}\sqrt{11}.Áâ
Se quiser uma noção numérica rápida, \sqrt{11}\approx 3{,}316, logo a área do triângulo é aproximadamente 1{,}658, mas a forma exata é \dfrac{\sqrt{11}}{2}.