1. Área associada ao produto vetorial
    Sejam
    \vec{u}=(1,1,0), \quad \vec{v}=(2,-1,1)
c) Sabendo que a área de um triângulo formado por dois vetores é metade da área do paralelogramo correspondente, determine a área do triângulo formado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no espaço:
\vec{u}=(1,1,0),\qquad \vec{v}=(2,-1,1).
Pede especificamente a área do triângulo formado por \vec{u} e \vec{v}. Também informa (implicitamente) a relação que vamos usar: a área do triângulo é metade da área do paralelogramo formado pelos mesmos vetores.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado passo a passo): a área do paralelogramo gerado por dois vetores \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^3 é o módulo do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Ou seja,
\text{Área do paralelogramo} = \left\|\vec{u}\times\vec{v}\right\|.Á
E então a área do triângulo é metade disso:
\text{Área do triângulo} = \frac{1}{2}\left\|\vec{u}\times\vec{v}\right\|.Áâ
Agora, o produto vetorial tem uma fórmula componente a componente. Se
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
então
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\big).
Cada componente é uma diferença de produtos cruzados das componentes dos vetores — dá para decorar como a regra do determinante 3×3, mas aqui está a fórmula explícita para aplicar sem confusão.

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores dados:
u_1=1,\quad u_2=1,\quad u_3=0,
v_1=2,\quad v_2=-1,\quad v_3=1.
Aplicando a fórmula do produto vetorial, calcule componente a componente:
Primeira componente:
u_2v_3-u_3v_2 = 1\cdot 1 - 0\cdot(-1) = 1 - 0 = 1.
Segunda componente:
u_3v_1-u_1v_3 = 0\cdot 2 - 1\cdot 1 = 0 - 1 = -1.
Terceira componente:
u_1v_2-u_2v_1 = 1\cdot(-1) - 1\cdot 2 = -1 - 2 = -3.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v} = (1,\,-1,\,-3).

Passo 4

Agora calculamos o módulo (norma) do vetor \vec{u}\times\vec{v}. A fórmula da norma em \mathbb{R}^3 é
\left\|(w_1,w_2,w_3)\right\|=\sqrt{w_1^{2}+w_2^{2}+w_3^{2}}.
Aplicando ao vetor (1,-1,-3):
\left\|\vec{u}\times\vec{v}\right\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}.
Isto é a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo formado por \vec{u} e \vec{v} é metade da área do paralelogramo:
\text{Área do triângulo}=\frac{1}{2}\left\|\vec{u}\times\vec{v}\right\|=\frac{1}{2}\sqrt{11}.Áâ
Se quiser uma noção numérica rápida, \sqrt{11}\approx 3{,}316, logo a área do triângulo é aproximadamente 1{,}658, mas a forma exata é \dfrac{\sqrt{11}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{11}}{2}

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