PARTE 3 - PRODUTO VETORIAL
8. Sejam os vetores
\vec{u}=(1,2,1), \quad \vec{v}=(2,-1,3)
c) Calcule o módulo |\vec{u} \times \vec{v}|.

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede o módulo do produto vetorial:
  • Vetores fornecidos: \vec{u}=(1,2,1) e \vec{v}=(2,-1,3).
  • Pedido: calcular |\vec{u}\times\vec{v}| (o módulo do produto vetorial).

Passo 2

Lembrete do que é o produto vetorial e como calcular componentes.
O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} entre dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta num vetor ortogonal a ambos e cujas componentes podem ser calculadas por:
\vec{u}\times\vec{v} = \big(u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1\big),
onde, para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), cada u_i e v_i é a componente correspondente dos vetores.
Além disso, o módulo do produto vetorial é dado por
|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{(u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2+(u_1v_2-u_2v_1)^2}.
Interpretação geométrica útil: |\vec{u}\times\vec{v}| é a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores dados:
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)=(1,2,1),\qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)=(2,-1,3).

Passo 4

Calcular cada componente do produto vetorial usando a fórmula:
  • Primeira componente:
u_2v_3-u_3v_2 = 2\cdot 3 - 1\cdot(-1) = 6 + 1 = 7.
  • Segunda componente:
u_3v_1-u_1v_3 = 1\cdot 2 - 1\cdot 3 = 2 - 3 = -1.
  • Terceira componente:
u_1v_2-u_2v_1 = 1\cdot(-1) - 2\cdot 2 = -1 - 4 = -5.

Passo 5

Portanto o produto vetorial é
\vec{u}\times\vec{v}=(7,-1,-5).

Passo 6

Calcular o módulo de \vec{u}\times\vec{v} aplicando a fórmula do passo 2:
|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{7^{2}+(-1)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{49+1+25}=\sqrt{75}.
Simplificando \sqrt{75}:
\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}.

Resposta

5\sqrt{3}

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