Área associada ao produto vetorial
Sejam \vec{u}=(1,1,0), \quad \vec{v}=(2,-1,1)
a) Calcule \vec{u} \times \vec{v}.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,1,0) e \vec{v}=(2,-1,1).
A tarefa (parte a) ) é: calcular \vec{u}\times\vec{v}.
Passo 2
Rápido lembrete do que é o produto vetorial (para você entender o porquê do procedimento).
O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a \vec{u} e a \vec{v}.
O módulo \left\|\vec{u}\times\vec{v}\right\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}.
Para calcular numericamente usa-se a fórmula por determinante com as componentes (ou a fórmula de componentes). Vou usar a forma determinantal, que é prática e direta.
Passo 3
Escrevendo o produto vetorial como um determinante com os vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
Aqui \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários nas direções x,y,z, e (u_1,u_2,u_3) e (v_1,v_2,v_3) são as componentes dos vetores \vec{u} e \vec{v}.
Passo 4
Expansão por cofatores (linha 1): as componentes do produto vetorial são