1. Área associada ao produto vetorial
    Sejam
    \vec{u}=(1,1,0), \quad \vec{v}=(2,-1,1)
a) Calcule \vec{u} \times \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(1,1,0) e \vec{v}=(2,-1,1).
A tarefa (parte a) ) é: calcular \vec{u}\times\vec{v}.

Passo 2

Rápido lembrete do que é o produto vetorial (para você entender o porquê do procedimento).
  • O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a \vec{u} e a \vec{v}.
  • O módulo \left\|\vec{u}\times\vec{v}\right\| é a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}.
  • Para calcular numericamente usa-se a fórmula por determinante com as componentes (ou a fórmula de componentes). Vou usar a forma determinantal, que é prática e direta.

Passo 3

Escrevendo o produto vetorial como um determinante com os vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\vec{u}\times\vec{v} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}.
Aqui \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários nas direções x,y,z, e (u_1,u_2,u_3) e (v_1,v_2,v_3) são as componentes dos vetores \vec{u} e \vec{v}.

Passo 4

Expansão por cofatores (linha 1): as componentes do produto vetorial são
\begin{aligned} (\vec{u}\times\vec{v})_x &= u_2 v_3 - u_3 v_2,\\[4pt] (\vec{u}\times\vec{v})_y &= u_3 v_1 - u_1 v_3,\\[4pt] (\vec{u}\times\vec{v})_z &= u_1 v_2 - u_2 v_1. \end{aligned}
Agora vou substituir as componentes dadas: \vec{u}=(u_1,u_2,u_3)=(1,1,0) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)=(2,-1,1).]

Passo 5

Calcular a componente x:
(\vec{u}\times\vec{v})_x = u_2 v_3 - u_3 v_2 = 1\cdot 1 - 0\cdot(-1) = 1 - 0 = 1.

Passo 6

Calcular a componente y:
(\vec{u}\times\vec{v})_y = u_3 v_1 - u_1 v_3 = 0\cdot 2 - 1\cdot 1 = 0 - 1 = -1.

Passo 7

Calcular a componente z:
(\vec{u}\times\vec{v})_z = u_1 v_2 - u_2 v_1 = 1\cdot(-1) - 1\cdot 2 = -1 - 2 = -3.

Passo 8

Juntando as componentes obtemos
\vec{u}\times\vec{v} = (1,\,-1,\,-3).
Como verificação rápida: o resultado deve ser perpendicular a \vec{u} e a \vec{v}. Conferindo os produtos internos:
(1,-1,-3)\cdot(1,1,0)=1-1+0=0,
(1,-1,-3)\cdot(2,-1,1)=2+1-3=0.
Ambos zero, então está coerente.

Resposta

\vec{u}\times\vec{v}=(1,-1,-3)

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