Área entre curvas
Determine a área da região entre a curva y=3-x^2 e a reta y=-1 integrando em relação a x.

Passo 1

A gente precisa achar a área da região limitada pela parábola y = 3 - x² e pela reta y = -1, integrando em x. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas: primeiro a gente encontra os limites de integração igualando as duas funções e depois integra a diferença (topo menos base).

Passo 2

Para achar os limites de integração, igualamos as duas curvas:
3 - x^2 = -1
isso dá
x^2 = 4 implies x = pm 2

Passo 3

Agora, para x entre -2 e 2, a parábola y = 3 - x² fica acima da reta y = -1. A distância vertical é:
(3 - x^2) - (-1) = 4 - x^2

Passo 4

Então a área é a integral da função diferença de -2 a 2:
A = integral-2^2 l(4 - x^2r),dx

Passo 5

A gente calcula a primitiva de 4 - x²: a primitiva de 4 é 4x e a de x² é x³/3. Logo,
integral (4 - x^2),dx = 4x - x^33

Passo 6

Agora avaliamos essa primitiva de x = -2 até x = 2. Pela simetria (o termo 4x é ímpar e o -x³/3 também), o cálculo dá:
l(4(2) - tfrac2^33r) - l(4(-2) - tfrac(-2)^33r) = (8 - tfrac83) - (-8 + tfrac83) = 16 - tfrac163 = tfrac323

Resposta

tfrac323

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