Resolva as inequações:
(x^wed>= 2-7 x+10) /(x^wed>= 3-8 x^wed>= 2+17 x-10) >= 1

Passo 1

A gente tem a inequação racional
x^2 - 7x + 10x^3 - 8x^2 + 17x - 10 >= 1
O conteúdo aqui é inequação de função racional. Vamos precisar determinar o domínio (pra não dividir por zero), passar tudo pra um só lado, fatorar numerador e denominador, e fazer um estudo de sinais.

Passo 2

Primeiro passo de resolução: subtrair 1 dos dois lados pra colocar tudo numa única fração. Ficamos com
x^2 - 7x + 10x^3 - 8x^2 + 17x - 10 - 1 >= 0
Depois, vamos colocar no mesmo denominador:
x^2 - 7x + 10 - l(x^3 - 8x^2 + 17x - 10r)x^3 - 8x^2 + 17x - 10 >= 0
Agora vamos calcular o numerador.

Passo 3

O numerador é
N(x) = x^2 - 7x + 10 - (x^3 - 8x^2 + 17x - 10)
Desenvolvendo:
N(x) = -x^3 + 9x^2 - 24x + 20
Logo a inequação virou
-x^3 + 9x^2 - 24x + 20x^3 - 8x^2 + 17x - 10 >= 0

Passo 4

Agora fatoramos numerador e denominador separadamente. Começando pelo numerador:
-x^3 + 9x^2 - 24x + 20 = -l(x^3 - 9x^2 + 24x - 20r)
O polinômio dentro do parêntese tem raiz em x=2 e em x=5, resultando em
x^3 - 9x^2 + 24x - 20 = (x-2)^2(x-5)
Então
num = - (x-2)^2 (x-5)
O denominador fatorado é
x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = (x-1)(x-2)(x-5)

Passo 5

Com isso a inequação fica
- (x-2)^2 (x-5)(x-1)(x-2)(x-5) >= 0
No domínio xneq1,2,5 podemos cancelar um (x-2) e um (x-5), obtendo
-x-2x-1 >= 0
que é o mesmo que
x-2x-1 <= 0

Passo 6

Agora fazemos o estudo de sinais de
f(x)=x-2x-1
As raízes de numerador e denominador são:
  • Numerador zero em x=2 (onde f=0).
  • Denominador zero em x=1 (f não existe).
Temos três intervalos: ( -infty,1 ), (1,2) e (2,+infty ). Escolhendo um ponto de teste em cada:
  • x<1: numerador <0, denominador <0 f>0.
  • 1: numerador <0, denominador >0 f<0.
  • x>2: numerador >0, denominador >0 f>0.
Queremos f(x)<=0, ou seja, regiões onde é negativo ou zero.

Passo 7

Por fim, atenção ao domínio original: xneq1,2,5. Mesmo que f(2)=0, na expressão original x=2 torna o denominador zero, logo não pode entrar. O ponto x=5 também está fora do domínio e x=1 idem.
Dessa forma, a única parte que sobra é
1 < x < 2

Resposta

(1,2)

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