Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas nos exercícios 81-84.
4 x^2+y=4 e x^4-y=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas dadas pelas equações 4x^2 + y = 4 e x^4 - y = 1. O conteúdo envolvido é cálculo de área entre curvas usando integração definida, para o que precisaremos: isolar y em cada equação, achar pontos de interseção, determinar qual curva fica acima da outra no intervalo e montar a integral de área.

Passo 2

Primeiro vamos escrever ambas as curvas como funções y = f(x). Da equação
4x^2 + y = 4
isolamos
y = 4 - 4x^2
Já da equação
x^4 - y = 1
isolamos
y = x^4 - 1
Portanto temos as funções
f(x) = 4 - 4x^2,
e
g(x) = x^4 - 1

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos f(x) = g(x):
4 - 4x^2 = x^4 - 1
ou
x^4 + 4x^2 - 5 = 0
Fazendo t = x^2 temos t^2 + 4t - 5 = 0, cujas raízes são t = 1 e t = -5. Como t = x^2 >= 0, fica x^2 = 1, ou seja,
x = -1 e x = 1

Passo 4

Nos pontos x = pm1, ambas as curvas dão y = 0, logo os pontos de interseção são (-1,0) e (1,0).
Agora, para x entre -1 e 1, observamos que
f(x) = 4 - 4x^2 >= 0 > x^4 - 1 = g(x),
ou seja, f(x) está acima de g(x).

Passo 5

A área entre as curvas é dada por
A = integral-1^1 l(f(x) - g(x)r),dx = integral-1^1 l[(4 - 4x^2) - (x^4 - 1)r],dx = integral-1^1 l(5 - 4x^2 - x^4r),dx

Passo 6

Para facilitar, note que o integrando é função par, então
A = 2 integral0^1 (5 - 4x^2 - x^4),dx

Passo 7

Calculando:
integral0^1 (5 - 4x^2 - x^4),dx = l[5x - tfrac43x^3 - tfrac15x^5r]0^1 = 5 - tfrac43 - tfrac15 = tfrac5215
Multiplicando por 2, obtemos
A = 2 cdot tfrac5215 = tfrac10415

Resposta

tfrac10415

Exercícios relacionados