Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas nos exercícios 81-84.
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas dadas pelas equações
e
. O conteúdo envolvido é cálculo de área entre curvas usando integração definida, para o que precisaremos: isolar
em cada equação, achar pontos de interseção, determinar qual curva fica acima da outra no intervalo e montar a integral de área.
Passo 2
Primeiro vamos escrever ambas as curvas como funções
. Da equação
isolamos
Já da equação
isolamos
Portanto temos as funções
e
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos
:
ou
Fazendo
temos
, cujas raízes são
e
. Como
, fica
, ou seja,
Passo 4
Nos pontos
, ambas as curvas dão
, logo os pontos de interseção são
e
.
Agora, para entre
e
, observamos que
Agora, para
ou seja,
está acima de
.
Passo 5
A área entre as curvas é dada por
Passo 6
Para facilitar, note que o integrando é função par, então
Passo 7
Calculando:
Multiplicando por 2, obtemos