Questão 3. Calcule aplicando coordenadas esféricas:
o volume da esfera de equaçãáo
.
o volume da esfera de equaçãáo
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume da esfera de equação x{2}+y{2}+z^{2}=2 usando coordenadas esféricas. O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais triplas, e vamos precisar do Jacobiano em coordenadas esféricas e dos limites adequados para r, φ e θ.
Passo 2
Da equação x{2}+y{2}+z^{2}=2 tiramos que o raio da esfera é R=\sqrt{2}. Esse valor vai ser o limite superior para a coordenada radial r na nossa integral.
Passo 3
Em coordenadas esféricas temos as transformações x=r\sin\varphi\cos\theta, y=r\sin\varphi\sin\theta, z=r\cos\varphi e o Jacobiano é r^{2}\sin\varphi. Como cobrimos toda a esfera, os limites são 0≤r≤\sqrt{2}, 0≤\varphi≤\pi e 0≤\theta≤2\pi. A integral que dá o volume é:
[\n V = \int_{0}{2\pi}!\int_{0}{\pi}!\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}\sin\varphi ,dr,d\varphi,d\theta
]
[\n V = \int_{0}{2\pi}!\int_{0}{\pi}!\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}\sin\varphi ,dr,d\varphi,d\theta
]
Passo 4
Agora calculamos a parte radial isoladamente:
[\n \int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2},dr = \left.\frac{r{3}}{3}\right|_{0}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{3}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
]
[\n \int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2},dr = \left.\frac{r{3}}{3}\right|_{0}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{3}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
]
Passo 5
Em seguida, calculamos as partes angulares:
[\n \int_{0}^{\pi}\sin\varphi,d\varphi = 2 \quade\quad \int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi
]
Multiplicando os resultados angulares obtemos 2 \times 2\pi = 4\pi.
[\n \int_{0}^{\pi}\sin\varphi,d\varphi = 2 \quade\quad \int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi
]
Multiplicando os resultados angulares obtemos 2 \times 2\pi = 4\pi.
Passo 6
Por fim, multiplicamos o resultado da integral em r (2\sqrt{2}/3) pelo resultado angular (4\pi) para obter o volume da esfera.