Área entre curvas
Determine a área da região triangular no primeiro quadrante, limitada acima pela curva y=e^x / 2, abaixo pela curva y=e^-x / 2 e à direita pela reta x=2 ln 2.

Passo 1

Neste exercício vamos achar a área da região triangular que fica no primeiro quadrante, limitada por cima pela curva y=e^x/2, por baixo pela curva y=e^-x/2 e pela reta vertical x=2ln2. O conteúdo principal é área entre curvas, que exige montar uma integral do tipo integrala^b [f(x)-g(x)],dx, e vamos usar primitives de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro precisamos achar onde as duas curvas se cruzam para saber o limite esquerdo da integral. Igualando e^x/2=e^-x/2 obtemos
x/2 = -x/2 implies x=0

Passo 3

Portanto, a região se estende de x=0 até x=2ln2. A área é dada por
A = integral0^2ln2 l(e^x/2-e^-x/2r),dx

Passo 4

Agora calculamos a integral separando em duas partes. Sabendo que
integral e^x/2,dx = 2e^x/2, integral e^-x/2,dx = -2e^-x/2,
vemos que uma antiderivada de e^x/2-e^-x/2 é
F(x)=2e^x/2 + 2e^-x/2

Passo 5

Por fim, avaliamos de 0 a 2ln2:
F(2ln2)=2e^ln2+2e^-ln2=2cdot2+2cdottfrac12=4+1=5,
F(0)=2e^0+2e^0=2+2=4,
logo a área é
A = F(2ln2)-F(0)=5-4=1

Resposta

A área da região é 1.

Exercícios relacionados