Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas nos exercícios 81-84.
x^3-y=0 e 3 x^2-y=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar as áreas das regiões que estão entre as curvas dadas pelas equações $ y = x^3 $ e $ y = 3x^2 - 4 $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram. Isso significa que vamos igualar as duas expressões para $ y $:
y
Vamos rearranjar essa equação para resolver para $ x $:
x^3 = 3x^2 - 4

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação cúbica $ x^3 - 3x^2 + 4 = 0 $. Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando valores simples:
Para $ x = -1 $:
x^3 - 3x^2 + 4 = 0
Então, $ x = -1 $ é uma raiz. Agora, vamos fatorar a equação usando essa raiz:
x = -1
Resolvendo $ x^2 - 4x + 4 = 0 $:
(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0
Então, as interseções são em $ x = -1 $ e $ x = 2 $.

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos identificar qual curva está acima da outra entre esses pontos para saber qual função subtrair da outra. Vamos escolher um valor de $ x $ entre -1 e 2, por exemplo, $ x = 0 $:
x
x = 0
Como $ y_1 > y_2 $ no ponto $ x = 0 $, sabemos que $ y = x^3 $ está acima de $ y = 3x^2 - 4 $ nesse intervalo.

Passo 5

Com isso, a área $ A $ entre as curvas de $ x = -1 $ a $ x = 2 $ é dada pela integral:
A

Passo 6

Vamos calcular essa integral passo a passo:
integral (x^3 - 3x^2 + 4) , dx = x^44 - x^3 + 4x + C
Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 2:
A = [ 2^44 - 2^3 + 4(2) ] - [ (-1)^44 - (-1)^3 + 4(-1) ]

Passo 7

Calculando cada parte:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = -1 $:
164 - 8 + 8 = 4 - 8 + 8 = 4

Passo 8

Agora, subtraímos os resultados:
A = 4 - (-114) = 4 + 114 = 164 + 114 = 274

Resposta

A área das regiões compreendidas entre as curvas $ y = x^3 $ e $ y = 3x^2 - 4 $ é $ \frac{27}{4} $ unidades de área.

Exercícios relacionados