Area entre curvas
Determine a ảrea da região triangular no primeiro quadrante, limitada acima pela curva y=e^v / 2, abaixo pela curva y=e^-x / 2 e à direita pela reta x=2 ln 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada acima por y=e^x/2, abaixo por y=e^-x/2 e à direita pela reta x=2ln2. Isso é um problema de cálculo de área entre duas curvas, então vamos usar a fórmula da área como integral definida de (curva superior − curva inferior).

Passo 2

Precisamos dos limites de integração em x. As duas curvas se encontram quando e^x/2=e^-x/2, ou seja, x/2=-x/2 leva a x=0. A borda direita é dada por x=2ln2. Portanto, integraremos de x=0 até x=2ln2.

Passo 3

A área é dada por
integral0^2ln2l(e^x/2-e^-x/2r),dx
onde e^x/2 é a curva superior e e^-x/2 a inferior.

Passo 4

Vamos calcular as primitivas. Sabemos que:
integral e^x/2,dx=2e^x/2,
integral e^-x/2,dx=-2e^-x/2
Logo,
integrall(e^x/2-e^-x/2r),dx=2e^x/2+2e^-x/2

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 2ln2: no ponto x=2ln2 temos e^x/2=2 e e^-x/2=tfrac12, então
2cdot2+2cdottfrac12=4+1=5
Em x=0 ambos os expoentes valem zero, dando 2cdot1+2cdot1=4. Subtraindo:
5-4=1

Resposta

1

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