Estamos calculando a integral . É uma função racional, então vamos usar decomposição em frações parciais e depois integrar partes usando logaritmos e arco-tangente.
Passo 2
Para decompor, assumimos
Multiplicando ambos os lados por , obtemos
Passo 3
Expandindo e agrupando termos, chegamos ao sistema
Resolvendo, obtemos A = 1, C = 1, B = 0 e D = -1. Assim 2t^3 - t^2 + 3t - 1(t^2+1)(t^2+2) = tt^2+1 + t-1t^2+2
Passo 4
Substituindo na integral, separamos em termos mais simples:
integral 2t^3 - t^2 + 3t - 1(t^2+1)(t^2+2) , dt = integral tt^2+1 , dt + integral tt^2+2 , dt - integral 1t^2+2 , dt
Passo 5
Agora integramos cada parte:
integral tt^2+1 , dt = tfrac12 ln(t^2+1) usando u = t^2+1.
integral tt^2+2 , dt = tfrac12 ln(t^2+2) usando u = t^2+2.
integral 1t^2+2 , dt = tfrac1raiz2 arctanl(tfractraiz2r).
Somando tudo e reunindo a constante de integração, temos o resultado final no próximo campo.
Resposta
tfrac12 ln(t^2+1) + tfrac12 ln(t^2+2) - tfrac1raiz2 arctan!l(tfractraiz2r) + C