Calcule a integral.
integral 2 t^3-t^2+3 t-1(t^2+1)(t^2+2) d t

Passo 1

Estamos calculando a integral integral 2t^3 - t^2 + 3t - 1(t^2+1)(t^2+2) , dt. É uma função racional, então vamos usar decomposição em frações parciais e depois integrar partes usando logaritmos e arco-tangente.

Passo 2

Para decompor, assumimos
2t^3 - t^2 + 3t - 1(t^2+1)(t^2+2) = At+Bt^2+1 + Ct+Dt^2+2
Multiplicando ambos os lados por (t^2+1)(t^2+2), obtemos
2t^3 - t^2 + 3t - 1 = (At+B)(t^2+2) + (Ct+D)(t^2+1)

Passo 3

Expandindo e agrupando termos, chegamos ao sistema
A + C = 2, B + D = -1, 2A + C = 3, 2B + D = -1
Resolvendo, obtemos A = 1, C = 1, B = 0 e D = -1. Assim
2t^3 - t^2 + 3t - 1(t^2+1)(t^2+2) = tt^2+1 + t-1t^2+2

Passo 4

Substituindo na integral, separamos em termos mais simples:
integral 2t^3 - t^2 + 3t - 1(t^2+1)(t^2+2) , dt = integral tt^2+1 , dt + integral tt^2+2 , dt - integral 1t^2+2 , dt

Passo 5

Agora integramos cada parte:
  • integral tt^2+1 , dt = tfrac12 ln(t^2+1) usando u = t^2+1.
  • integral tt^2+2 , dt = tfrac12 ln(t^2+2) usando u = t^2+2.
  • integral 1t^2+2 , dt = tfrac1raiz2 arctanl(tfractraiz2r).
    Somando tudo e reunindo a constante de integração, temos o resultado final no próximo campo.

Resposta

tfrac12 ln(t^2+1) + tfrac12 ln(t^2+2) - tfrac1raiz2 arctan!l(tfractraiz2r) + C

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