Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f no ponto p quando
f(x, y)=3 x^2 y-x e p=(1,2, f(1,2))

Passo 1

Neste exercício temos o gráfico da função f(x,y)=3x^2y - x e o ponto p=(1,2,f(1,2)). Nosso objetivo é achar a equação do plano tangente e da reta normal a esse gráfico em p. Vamos usar derivadas parciais para isso.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor de f(1,2) para obter a coordenada z de p:
f(1,2)=3cdot1^2cdot2 - 1 = 6 - 1 = 5
Então p=(1,2,5).

Passo 3

Agora, determinamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=6xy - 1,
partial fpartial y(x,y)=3x^2

Passo 4

Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto (1,2):
fx(1,2)=6cdot1cdot2 - 1 = 12 - 1 = 11,
fy(1,2)=3cdot1^2 = 3

Passo 5

A equação do plano tangente a z=f(x,y) em (a,b,f(a,b)) é dada por
z = fx(a,b),l(x - ar) + fy(a,b),l(y - br) + f(a,b)
Substituindo a=1, b=2, fx(1,2)=11, fy(1,2)=3 e f(1,2)=5, temos
z = 11(x-1) + 3(y-2) + 5 = 11x + 3y - 12

Passo 6

Para a reta normal, usamos que um vetor normal ao plano tangente é (fx(1,2),fy(1,2),-1) = (11,3,-1). Assim, a reta normal parametrizada por t passando por (1,2,5) é
x = 1 + 11t, y = 2 + 3t, z = 5 - t

Resposta

Plano tangente:
z = 11x + 3y - 12
Reta normal:
x = 1 + 11t, y = 2 + 3t, z = 5 - t

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