Calcule a integral.
integral sen x cos ^2 x5+cos ^2 x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral sin x,cos^2 x5+cos^2 x,dx. O conteúdo envolvido é integração por substituição (mudança de variável) e integração de frações racionais. Vamos usar a substituição t=cos x.

Passo 2

Definindo t=cos x, temos dt = -sin x,dx, ou seja, sin x,dx = -dt. Substituindo na integral original, obtemos:
-integral t^25+t^2,dt

Passo 3

Agora precisamos integrar a função racional t^2/(t^2+5). Fazemos divisão algébrica:
t^2t^2+5 = 1 - 5t^2+5
Logo a integral fica:
$$
-\int\Bigl(1 - \frac{5}{t^2+5}\Bigr)dt = -\int 1,dt + 5\int \frac{1}{t^2+5},dt
$$

Passo 4

Reconhecendo integrais padrão: integral1,dt = t e integral1t^2+a^2dt = 1aarctan(tfracta). Aqui a=raiz5, então
-integral1,dt + 5integral 1t^2+5,dt = -t + 5cdot1raiz5arctanl(traiz5r) + C = -t + raiz5arctanl(tfractraiz5r) + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original x, lembrando que t=cos x. Assim a solução geral é obtida.

Resposta

-\cos x + \sqrt5\arctan\Bigl(\frac{\cos x}{\sqrt5}\Bigr) + C

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