Calcule a integral.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral
. O conteúdo envolvido é integração por substituição (mudança de variável) e integração de frações racionais. Vamos usar a substituição
.
Passo 2
Definindo
, temos
, ou seja,
. Substituindo na integral original, obtemos:
Passo 3
Agora precisamos integrar a função racional
. Fazemos divisão algébrica:
Logo a integral fica:
$$
-\int\Bigl(1 - \frac{5}{t^2+5}\Bigr)dt = -\int 1,dt + 5\int \frac{1}{t^2+5},dt
$$
Passo 4
Reconhecendo integrais padrão:
e
. Aqui
, então
Passo 5
Por fim, voltamos à variável original
, lembrando que
. Assim a solução geral é obtida.
Resposta
-\cos x + \sqrt5\arctan\Bigl(\frac{\cos x}{\sqrt5}\Bigr) + C