Área entre curvas
A região limitada abaixo pela parábola y=x^2 e acima pela reta y=4 será dividida pela reta horizontal y=c em duas subseções de mesma área.
Determine c integrando em relação a y. (Isso colocará c nos limites de integração.)

Passo 1

Temos a região limitada pela parábola y = x^2 por baixo e pela reta y = 4 por cima. O objetivo é encontrar o valor de c tal que a reta horizontal y = c divida essa região em duas sub-regiões de áreas iguais. Para isso, vamos integrar em relação a y.

Passo 2

Numa seção horizontal à altura y, os pontos da região satisfazem x^2 <= y <= 4, logo x varia entre -raizy e raizy. A largura da tira é 2raizy, então a área de uma fatia infinitesimal é 2raizy,dy.

Passo 3

Calculamos a área total da região entre y=x^2 e y=4:
Atotal = integral0^4 2raizy,dy = [43y^3/2]0^4 = 323
Logo, a metade dessa área é tfrac163.

Passo 4

Agora, calculamos a área da parte inferior até y=c e igualamos a tfrac163:
A(c) = integral0^c 2raizy,dy = [43y^3/2]0^c = 43c^3/2
Igualando a tfrac163 resulta em c^3/2 = 4, ou seja
c = 4^2/3 = 2^4/3

Resposta

2^4/3

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