Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente lineares. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um método chamado fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está na forma padrão:
No nosso caso, temos:
- $ P(t) = 1 $
- $ Q(t) = t + e^{-2 t} $
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Como $ P(t) = 1 $, a integral fica:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) $:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto $ \mu(t) \cdot y $:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ t $:
Isso simplifica para:
Passo 7
Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, $ \int e^{t} \cdot t , dt $. Para isso, usamos a integração por partes, onde:
- $ u = t $ ⇒ $ du = dt $
- $ dv = e^{t} dt $ ⇒ $ v = e^{t} $
Aplicando:
Agora, a segunda integral:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Agora, para isolar $ y $, dividimos ambos os lados por $ e^{t} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: