Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias
y^prime+y=t+e^-2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é y^prime + y = t + e^-2 t. Estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente lineares. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um método chamado fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está na forma padrão:
y^prime + P(t) cdot y = Q(t)
No nosso caso, temos:
  • $ P(t) = 1 $
  • $ Q(t) = t + e^{-2 t} $

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Como $ P(t) = 1 $, a integral fica:
P(t) = 1

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) $:
mu(t)
Simplificando o lado direito:
e^t cdot y^prime + e^t cdot y = e^t cdot t + e^t cdot e^-2 t

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto $ \mu(t) \cdot y $:
mu(t) cdot y

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ t $:
t
Isso simplifica para:
integral ddt ( e^t cdot y ) , dt = integral ( e^t cdot t + e^-t ) dt

Passo 7

Vamos resolver as integrais uma por uma. Primeiro, $ \int e^{t} \cdot t , dt $. Para isso, usamos a integração por partes, onde:
  • $ u = t $ ⇒ $ du = dt $
  • $ dv = e^{t} dt $ ⇒ $ v = e^{t} $
Aplicando:
integral e^t cdot t , dt
Agora, a segunda integral:
u = t

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
e^t cdot y = e^t cdot t - e^t - e^-t + C
Agora, para isolar $ y $, dividimos ambos os lados por $ e^{t} $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = t - 1 - e^-2 t + C e^-t

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