Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias
y^prime=6 x^22 y+cos (y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a seguinte equação diferencial ordinária:
y^prime = 6x^22y + cos(y)
Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis $ y $ e $ x $ e então integrar ambos os lados. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Lembre-se que $ y^{\prime} $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Então, temos:
y^prime
Vamos multiplicar ambos os lados por $ (2y + \cos(y)) $ para levar todas as expressões com $ y $ para um lado e as com $ x $ para o outro:
y

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar a parte esquerda em relação a $ y $ e a parte direita em relação a $ x $:
y

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente.
Para o lado esquerdo:
integral 2y, dy + integral cos(y), dy = y^2 + sin(y) + C1
Para o lado direito:
integral 6x^2, dx = 2x^3 + C2
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.

Passo 5

Podemos simplificar as constantes de integração combinando $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $. Assim, temos:
C1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
y^2 + sin(y) = 2x^3 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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