Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a seguinte equação diferencial ordinária:
Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis $ y $ e $ x $ e então integrar ambos os lados. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Lembre-se que $ y^{\prime} $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Então, temos:
Vamos multiplicar ambos os lados por $ (2y + \cos(y)) $ para levar todas as expressões com $ y $ para um lado e as com $ x $ para o outro:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar a parte esquerda em relação a $ y $ e a parte direita em relação a $ x $:
Passo 4
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.
Passo 5
Podemos simplificar as constantes de integração combinando $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $. Assim, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde $ C $ é a constante de integração.