Numa área dividida em quadrantes de
, foram encontradas em média 2,5 espécimes. Considere que o modelo de Poisson é adequado.
(a) qual a probabilidade de encontrar exatamente 4 espécimes?
(b) qual a probabilidade de encontrar no máximo 1 espécime por quadrante?
(c) qual a probabilidade de encontrar 1 espécime em uma área delimitada por 4 quadrantes?
(a) qual a probabilidade de encontrar exatamente 4 espécimes?
(b) qual a probabilidade de encontrar no máximo 1 espécime por quadrante?
(c) qual a probabilidade de encontrar 1 espécime em uma área delimitada por 4 quadrantes?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações que vamos organizar bem direitinho: \n
- Cada quadrante tem área
. \n - Em média foram encontradas
espécimes por quadrante (ou seja, para cada área de a média é ). \n - O modelo adequado é o de Poisson. \n
As perguntas são: \n
(a) qual a probabilidade de encontrar exatamenteespécimes (em um quadrante, suponho)? \n
(b) qual a probabilidade de encontrar no máximoespécime por quadrante (ou seja, ou espécime em um quadrante)? \n
(c) qual a probabilidade de encontrarespécime em uma área delimitada por quadrantes (ou seja, na área total )? \n
Observação importante que vou usar: a média (parâmetro) da Poisson escala linearmente com a área. Como a média por quadrante é, para quadrantes o parâmetro será .
Passo 2
Vou lembrar e explicar a fórmula do modelo de Poisson, que é a ferramenta central aqui. \n
Se segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
(que é a média esperada de ocorrências no intervalo/área considerado), escrevemos
. A probabilidade de ocorrer exatamente
eventos é dada por: \n
Se
Onde: \n
-
é a média (esperança) de eventos no mesmo intervalo/área que estamos considerando; \n -
é o fatorial de (por exemplo ); \n -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ). \n
Dica prática: para calcular probabilidades sucessivas
a partir de
na Poisson usamos a recorrência
isso evita recalcular potências/fatoriais do zero quando for útil.
Passo 3
Queremos a probabilidade de exatamente
espécimes em um quadrante. Aqui
(média por quadrante). Aplicando a fórmula: \n
Agora calcule passo a passo: \n
-
. \n -
. \n -
. \n -
. \n - A constante
vale aproximadamente . \n
Multiplicando e dividindo: \n
Uma forma prática: primeiro calcule
e depois multiplique por
. Assim \n
Portanto a probabilidade pedida na letra (a) é aproximadamente
(ou
).
Passo 4
Queremos a probabilidade de no máximo
espécime por quadrante, isto é
com
. \n
Calcule e
: \n
Calcule
- Pela fórmula,
. Já sabemos . \n - Para
: \n
Somando: \n
Interpretação: aproximadamente
de chance de um quadrante ter no máximo um espécime.
Passo 5
Agora a área é composta por
quadrantes. Como a média escala com a área, o parâmetro da Poisson para essa área total é
. Definimos
. Queremos
. Aplicando a fórmula: \n
Sabemos
. Multiplicando: \n
Ou seja, cerca de
, isto é
— muito pequena, porque a média na área de 4 quadrantes é alta (
), então encontrar exatamente
é improvável.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)