Numa área dividida em quadrantes de 0,50 \mathrm{~m}^{2}, foram encontradas em média 2,5 espécimes. Considere que o modelo de Poisson é adequado.
(a) qual a probabilidade de encontrar exatamente 4 espécimes?
(b) qual a probabilidade de encontrar no máximo 1 espécime por quadrante?
(c) qual a probabilidade de encontrar 1 espécime em uma área delimitada por 4 quadrantes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações que vamos organizar bem direitinho: \n
  • Cada quadrante tem área 0{,}50\\ \mathrm{m}^2. \n
  • Em média foram encontradas 2{,}5 espécimes por quadrante (ou seja, para cada área de 0{,}50\\ \mathrm{m}^2 a média é 2{,}5). \n
  • O modelo adequado é o de Poisson. \n
    As perguntas são: \n
    (a) qual a probabilidade de encontrar exatamente 4 espécimes (em um quadrante, suponho)? \n
    (b) qual a probabilidade de encontrar no máximo 1 espécime por quadrante (ou seja, 0 ou 1 espécime em um quadrante)? \n
    (c) qual a probabilidade de encontrar 1 espécime em uma área delimitada por 4 quadrantes (ou seja, na área total 4\times0{,}50=2{,}0\\ \mathrm{m}^2)? \n
    Observação importante que vou usar: a média (parâmetro) da Poisson escala linearmente com a área. Como a média por quadrante é \lambda_{\text{quad}}=2{,}5, para 4 quadrantes o parâmetro será \lambda_{4}=4\cdot2{,}5=10.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a fórmula do modelo de Poisson, que é a ferramenta central aqui. \n
Se X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda (que é a média esperada de ocorrências no intervalo/área considerado), escrevemos X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda). A probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é dada por: \n
P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.
Onde: \n
  • \lambda é a média (esperança) de eventos no mesmo intervalo/área que estamos considerando; \n
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24); \n
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. e\approx2{,}71828). \n
Dica prática: para calcular probabilidades sucessivas P(k+1) a partir de P(k) na Poisson usamos a recorrência P(k+1)=\frac{\lambda}{k+1}\,P(k),
isso evita recalcular potências/fatoriais do zero quando for útil.

Passo 3

Queremos a probabilidade de exatamente 4 espécimes em um quadrante. Aqui \lambda=2{,}5 (média por quadrante). Aplicando a fórmula: \n
P(X=4)=\frac{(2{,}5)^{4}e^{-2{,}5}}{4!}.
Agora calcule passo a passo: \n
  • 4!=24. \n
  • (2{,}5)^{2}=6{,}25. \n
  • (2{,}5)^{3}=15{,}625. \n
  • (2{,}5)^{4}=39{,}0625. \n
  • A constante e^{-2{,}5} vale aproximadamente 0{,}082085. \n
    Multiplicando e dividindo: \n
P(X=4)=\frac{39{,}0625\cdot 0{,}082085}{24}.
Uma forma prática: primeiro calcule \dfrac{(2{,}5)^{4}}{4!}=\dfrac{39{,}0625}{24}=1{,}627604166\ldots e depois multiplique por e^{-2{,}5}. Assim \n
P(X=4)\approx 1{,}627604166\cdot0{,}082085\approx0{,}133602.
Portanto a probabilidade pedida na letra (a) é aproximadamente 0{,}133602 (ou 13{,}36\%).

Passo 4

Queremos a probabilidade de no máximo 1 espécime por quadrante, isto é P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1) com \lambda=2{,}5. \n
Calcule P(X=0) e P(X=1): \n
  • Pela fórmula, P(X=0)=\dfrac{(2{,}5)^{0}e^{-2{,}5}}{0!}=e^{-2{,}5}. Já sabemos e^{-2{,}5}\approx0{,}082085. \n
  • Para P(X=1): \displaystyle P(X=1)=\frac{(2{,}5)^{1}e^{-2{,}5}}{1!}=2{,}5\cdot e^{-2{,}5}\approx2{,}5\cdot0{,}082085\approx0{,}2052125. \n
    Somando: \n
P(X\le1)=0{,}082085+0{,}2052125\approx0{,}2872975.
Interpretação: aproximadamente 28{,}73\% de chance de um quadrante ter no máximo um espécime.

Passo 5

Agora a área é composta por 4 quadrantes. Como a média escala com a área, o parâmetro da Poisson para essa área total é \lambda_{4}=4\cdot2{,}5=10. Definimos Y\sim\operatorname{Poisson}(10). Queremos P(Y=1). Aplicando a fórmula: \n
P(Y=1)=\frac{10^{1}e^{-10}}{1!}=10\cdot e^{-10}.
Sabemos e^{-10}\approx0{,}00004539993. Multiplicando: \n
P(Y=1)\approx10\cdot0{,}00004539993\approx0{,}0004539993.
Ou seja, cerca de 0{,}000454, isto é 0{,}0454\% — muito pequena, porque a média na área de 4 quadrantes é alta ( \lambda=10), então encontrar exatamente 1 é improvável.

Resposta

(a) 0{,}133602\n
(b) 0{,}2872975\n
(c) 0{,}0004539993

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