1. A área de uma face de um cubo amarelo é de 104 \mathrm{~cm}^{2} maior que a área de uma face de um cubo azul. Se a soma dos comprimentos de todas as arestas do cubo azul é igual a 132 cm , a diferença de volume, em \mathrm{cm}^{3}, desses dois cubos é igual a
    A) 1024 .
    B) 1888 .
    C) 2044 .
    D) 3128 .
    E) 4142 .

Passo 1

O enunciado pede a diferença de volume entre dois cubos (amarelo menos azul). Informações fornecidas:
  • A área de uma face do cubo amarelo é 104\\ \mathrm{cm}^2 maior que a área de uma face do cubo azul.
  • A soma dos comprimentos de todas as arestas do cubo azul é 132\\ \mathrm{cm}.
    Resumo do que devemos encontrar: V_{\text{amarelo}} - V_{\text{azul}}.

Passo 2

Defino variáveis e fórmulas básicas (vou explicar por quê): seja a_{\text{azul}} o comprimento da aresta do cubo azul e a_{\text{amarelo}} a do cubo amarelo. Lembre que:
  • Um cubo tem 12 arestas (cada face tem 4 arestas, há 6 faces, mas cada aresta pertence a 2 faces, então 6\cdot4/2=12).
  • A soma dos comprimentos de todas as arestas é 12\cdot a_{\text{azul}}.
Como a soma é 132\\ \mathrm{cm}, temos
12\cdot a_{\text{azul}} = 132.
Resolvendo,
a_{\text{azul}} = \frac{132}{12} = 11\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Área de uma face de um cubo: se a aresta vale a, a área da face é a^2 (porque a face é um quadrado). Então a área da face do cubo azul é
A_{\text{azul}} = a_{\text{azul}}^2 = 11^2 = 121\\ \mathrm{cm}^2.
Pelo enunciado, a área da face do cubo amarelo é 104\\ \mathrm{cm}^2 maior, portanto
A_{\text{amarelo}} = A_{\text{azul}} + 104 = 121 + 104 = 225\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 4

Para obter a aresta do cubo amarelo, usamos que a aresta é a raiz quadrada da área da face:
a_{\text{amarelo}} = \sqrt{A_{\text{amarelo}}} = \sqrt{225} = 15\\ \mathrm{cm}.
Explicando rápido: se a^2=225, então a=\sqrt{225}, pois queremos o comprimento positivo.

Passo 5

Volume de um cubo: V=a^3. Calculamos os dois volumes:
V_{\text{azul}} = a_{\text{azul}}^3 = 11^3 = 11\cdot11\cdot11 = 121\cdot11 = 1331\\ \mathrm{cm}^3,
V_{\text{amarelo}} = a_{\text{amarelo}}^3 = 15^3 = 15\cdot15\cdot15 = 225\cdot15 = 3375\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Agora a diferença de volumes (amarelo menos azul):
V_{\text{amarelo}} - V_{\text{azul}} = 3375 - 1331 = 2044\\ \mathrm{cm}^3.
Portanto a resposta corresponde à alternativa (C).

Resposta

2044

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