1. Uma área (a) foi 9 vezes reduzida em relação a área (b). De quanto foi a redução linear?

Passo 1

O enunciado dá que a área (a) foi 9 vezes reduzida em relação à área (b). Ou seja, a informação relevante é:
A_a=\frac{1}{9}A_b.
A pergunta é: “De quanto foi a redução linear?” — isto é, qual é o fator de escala nas medidas lineares (comprimento, largura, raio, etc.) que leva de (b) para (a), e/ou qual a redução percentual dessas medidas lineares.

Passo 2

Vamos introduzir uma variável para o fator linear. Seja k o fator pelo qual as medidas lineares de (b) são multiplicadas para obter as medidas lineares de (a). Em símbolos:
\text{se } L_b \text{ é uma medida linear em }(b), \text{ então } L_a = k\,L_b.éã
Explicando: k é adimensional; se k=1 não há mudança; se k<1 houve redução linear.

Passo 3

Relação entre áreas e fator linear: quando se escala todas as dimensões lineares por k, a área escala por k^2. Portanto vale:
A_a = k^2 A_b.
Essa fórmula vem do fato simples: área é produto de duas medidas lineares (por exemplo base e altura), e cada uma é multiplicada por k, então a área total é multiplicada por k\cdot k=k^2.

Passo 4

Usando a informação do enunciado A_a=\dfrac{1}{9}A_b na relação A_a=k^2A_b, obtemos:
k^2=\frac{A_a}{A_b}=\frac{1}{9}.
Tomando a raiz quadrada (como k>0 para redução física),
k=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Interpretação do valor encontrado: k=\dfrac{1}{3} significa que as medidas lineares de (a) são um terço das medidas lineares de (b). Em outras palavras, as medidas lineares foram reduzidas para 33{,}3\% do valor original.

Passo 6

Cálculo da redução percentual linear: a redução (quanto diminuiu, em percentagem) é
\text{redução percentual} = \bigl(1-k\bigr)\times 100\% = \left(1-\frac{1}{3}\right)\times100\%= \frac{2}{3}\times100\%=66\frac{2}{3}\%.çã

Passo 7

Exemplo numérico para fixar (bem prático): se em (b) um quadrado tem lado L_b=6, a área é 36. Com k=\dfrac{1}{3} o lado em (a) é L_a=2 e a área é 4, que é exatamente 36/9. Isso confirma o raciocínio.

Resposta

Fator linear: \dfrac{1}{3}
Redução percentual linear: 66\frac{2}{3}\%

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