Usar o método da variação de parâmetros.
y^{\prime \prime}+4 y=(10 x \cos x+14 \operatorname{sen} x) e^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária não homogênea de segunda ordem
y^{\prime\prime}+4y=(10x\cos x+14\operatorname{sen} x)e^{x},
e pede para resolver usando o método da variação de parâmetros.
Informações relevantes que temos:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes, e o termo não homogêneo é g(x)=(10x\cos x+14\operatorname{sen} x)e^{x}.
  • O objetivo final é obter a solução geral y(x)=y_h(x)+y_p(x), onde y_h é a solução geral da homogênea e y_p é uma solução particular obtida por variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y^{\prime\prime}+4y=0.
A equação característica é \,r^{2}+4=0, cujas raízes são r=\pm 2\mathrm{i}. Portanto duas soluções fundamentais são
y_{1}(x)=\cos(2x),\qquad y_{2}(x)=\operatorname{sen}(2x).
Estas formam um sistema fundamental linearmente independente. Calculemos o Wronskiano W(x):
W(x)=\begin{vmatrix}\cos(2x) & \operatorname{sen}(2x)\\\\ -2\operatorname{sen}(2x) & 2\cos(2x)\end{vmatrix} =2\cos^{2}(2x)+2\operatorname{sen}^{2}(2x)=2.
Observação didática: o Wronskiano sendo constante e não nulo simplifica muito os cálculos de variação de parâmetros, pois W(x)=2.

Passo 3

Fórmulas da variação de parâmetros (segunda ordem): para a equação y''+4y=g(x), com y_1,y_2 como acima e W=2, define-se
u_1'(x)=-\frac{y_2(x)\,g(x)}{W},\qquad u_2'(x)=\frac{y_1(x)\,g(x)}{W},
e então uma solução particular é
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1,u_2 são antiderivadas de u_1',u_2'. Aqui
g(x)=(10x\cos x+14\operatorname{sen} x)e^{x}.
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u_1'(x)=-\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)\,(10x\cos x+14\operatorname{sen} x)e^{x},
u_2'(x)=\frac{1}{2}\cos(2x)\,(10x\cos x+14\operatorname{sen} x)e^{x}.
Precisamos calcular as primitivas
u_1(x)=-\frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2x)\,(10x\cos x+14\operatorname{sen} x)e^{x}\,dx,
u_2(x)=\frac{1}{2}\int \cos(2x)\,(10x\cos x+14\operatorname{sen} x)e^{x}\,dx.

Passo 4

Para integrar, simplificamos os produtos trigonométricos usando identidades de soma/produto:
\operatorname{sen}(2x)\cos x=\tfrac{1}{2}(\operatorname{sen} 3x+\operatorname{sen} x),\qquad \operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen} x=\tfrac{1}{2}(\cos x-\cos 3x),
\cos(2x)\cos x=\tfrac{1}{2}(\cos x+\cos 3x),\qquad \cos(2x)\operatorname{sen} x=\tfrac{1}{2}(\operatorname{sen} 3x-\operatorname{sen} x).
Substituindo em u_1' e u_2' e extraindo o fator e^{x} obtemos integrandos expressos em funções do tipo e^{x}, x e^{x} multiplicando \operatorname{sen}(kx) ou \cos(kx) (com k=1 ou 3). Explicitamente, após as manipulações algébricas:
u_1'(x)= -e^{x}\Big(\tfrac{5}{2}x\operatorname{sen} 3x+\tfrac{5}{2}x\operatorname{sen} x+\tfrac{7}{2}\cos x-\tfrac{7}{2}\cos 3x\Big)\cdot\tfrac{1}{2}
(o fator 1/2 já incluído anteriormente — mantemos a forma a seguir por clareza), e de forma análoga para u_2'. Para organizar o cálculo, definimos as integrais
I_1=\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2x)\,(10x\cos x+14\operatorname{sen} x)e^{x}\,dx,
I_2=\tfrac{1}{2}\int \cos(2x)\,(10x\cos x+14\operatorname{sen} x)e^{x}\,dx,
de modo que u_1=-I_1 e u_2=I_2. Depois de aplicar as identidades, obtemos (detalhes algébricos mostrados no próximo passo) que as integrais a calcular se reduzem a combinações lineares de:
\int e^{x}\cos x\,dx,\quad \int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx,\quad \int x e^{x}\cos x\,dx,\quad \int x e^{x}\operatorname{sen} x\,dx,
e as mesmas com \cos 3x,\\ \operatorname{sen} 3x. Então precisamos das fórmulas gerais para essas primitivas.

Passo 5

Aulas rápidas (fórmulas úteis) e derivação das primitivas necessárias.
  1. Fórmulas básicas (para a real)
\int e^{x}\cos(ax)\,dx=\frac{e^{x}\big(\cos(ax)+a\operatorname{sen}(ax)\big)}{1+a^{2}}+C,
\int e^{x}\operatorname{sen}(ax)\,dx=\frac{e^{x}\big(\operatorname{sen}(ax)-a\cos(ax)\big)}{1+a^{2}}+C.
Explicação curta: aplica-se integração por partes duas vezes ou resolve-se o sistema linear gerado; o denominador 1+a^{2} aparece pela combinação das equações.
  1. Primitivas com factor x usando integração por partes (tomando u=x,\\ dv=e^{x}\cos(ax)dx etc.). O resultado geral (com A=1+a^{2}) é
\int x e^{x}\cos(ax)\,dx = e^{x}\!\left[\frac{x(\cos(ax)+a\operatorname{sen}(ax))}{A}-\frac{(1-a^{2})\cos(ax)+2a\operatorname{sen}(ax)}{A^{2}}\right]+C,
\int x e^{x}\operatorname{sen}(ax)\,dx = e^{x}\!\left[\frac{x(\operatorname{sen}(ax)-a\cos(ax))}{A}-\frac{(1-a^{2})\operatorname{sen}(ax)-2a\cos(ax)}{A^{2}}\right]+C.
Agora aplicamos a=1 e a=3:
  • Para a=1 temos A=2, A^{2}=4:
\int e^{x}\cos x\,dx=\tfrac{e^{x}(\cos x+\operatorname{sen} x)}{2},
\int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx=\tfrac{e^{x}(\operatorname{sen} x-\cos x)}{2},
\int x e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\!\left[\tfrac{x(\cos x+\operatorname{sen} x)}{2}-\tfrac{\operatorname{sen} x}{2}\right],
\int x e^{x}\operatorname{sen} x\,dx=e^{x}\!\left[\tfrac{x(\operatorname{sen} x-\cos x)}{2}+\tfrac{\cos x}{2}\right].
  • Para a=3 temos A=10, A^{2}=100:
\int e^{x}\cos 3x\,dx=\tfrac{e^{x}(\cos 3x+3\operatorname{sen} 3x)}{10},
\int e^{x}\operatorname{sen} 3x\,dx=\tfrac{e^{x}(\operatorname{sen} 3x-3\cos 3x)}{10},
\int x e^{x}\cos 3x\,dx =e^{x}\!\left[\tfrac{x(\cos 3x+3\operatorname{sen} 3x)}{10}+\tfrac{8\cos 3x-6\operatorname{sen} 3x}{100}\right],
\int x e^{x}\operatorname{sen} 3x\,dx =e^{x}\!\left[\tfrac{x(\operatorname{sen} 3x-3\cos 3x)}{10}+\tfrac{8\operatorname{sen} 3x+6\cos 3x}{100}\right].

Passo 6

Agora voltamos para I_1 e I_2. Substituindo as fórmulas e combinando termos (passo algébrico longo, mas direto: expandir, aplicar as primitivas anteriores e somar constantes) obtemos, escolhendo antiderivadas convenientes (constantes de integração desprezíveis pois entram em y_h):
Para I_1 (lembrando u_1=-I_1):
I_1=e^{x}\Big(\tfrac{1}{4}x\operatorname{sen} 3x-\tfrac{3}{4}x\cos 3x+\tfrac{5}{4}x\operatorname{sen} x-\tfrac{5}{4}x\cos x-\tfrac{17}{20}\operatorname{sen} 3x-\tfrac{1}{5}\cos 3x+\tfrac{7}{4}\operatorname{sen} x+3\cos x\Big).
Para I_2 (lembrando u_2=I_2):
I_2=e^{x}\Big(\tfrac{5}{4}x\cos x+\tfrac{5}{4}x\operatorname{sen} x+\tfrac{1}{4}x\cos 3x+\tfrac{3}{4}x\operatorname{sen} 3x+\tfrac{1}{5}\operatorname{sen} 3x-\tfrac{17}{20}\cos 3x-3\operatorname{sen} x+\tfrac{7}{4}\cos x\Big).
(Aviso didático: estas expressões resultam de aplicar as primitivas do passo anterior a cada termo do integrando e de organizar coeficientes. As constantes de integração são irrelevantes para uma solução particular, pois alteram apenas a parte homogênea.)

Passo 7

Montamos a solução particular pela fórmula
y_p=-y_1\,I_1+y_2\,I_2=-\cos(2x)I_1+\operatorname{sen}(2x)I_2.
Multiplicando e simplificando cuidadosamente (usar identidades trigonométricas de soma/produto como no passo 4) observa-se que muitas frequências mais altas ( \cos 3x,\operatorname{sen} 3x,\cos 5x,\operatorname{sen} 5x) se cancelam entre si; o resultado final simplificado concentra-se apenas nas funções \operatorname{sen} x,\cos x e em termos lineares em x multiplicando \operatorname{sen} x,\cos x. Depois de realizar essas simplificações algébricas completas (mostradas acima nos cálculos parciais), obtemos
y_p(x)=e^{x}\Big(x\operatorname{sen} x+2x\cos x+\tfrac{13}{5}\operatorname{sen} x-\tfrac{14}{5}\cos x\Big).
Podemos reescrever mais compactamente:
y_p(x)=e^{x}\Big((x+\tfrac{13}{5})\operatorname{sen} x+(2x-\tfrac{14}{5})\cos x\Big).

Passo 8

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\operatorname{sen}(2x)+y_p(x).
Substituindo y_p obtido no passo anterior, temos a solução geral explícita.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\operatorname{sen}(2x)+e^{x}\Big((x+\tfrac{13}{5})\operatorname{sen} x+(2x-\tfrac{14}{5})\cos x\Big)

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