e pede para resolver usando o método da variação de parâmetros.
Informações relevantes que temos:
A equação é linear, com coeficientes constantes, e o termo não homogêneo é g(x)=(10x\cos x+14\operatorname{sen} x)e^{x}.
O objetivo final é obter a solução geral y(x)=y_h(x)+y_p(x), onde y_h é a solução geral da homogênea e y_p é uma solução particular obtida por variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y^{\prime\prime}+4y=0.
A equação característica é \,r^{2}+4=0, cujas raízes são r=\pm 2\mathrm{i}. Portanto duas soluções fundamentais são
Substituindo em u_1' e u_2' e extraindo o fator e^{x} obtemos integrandos expressos em funções do tipo e^{x}, x e^{x} multiplicando \operatorname{sen}(kx) ou \cos(kx) (com k=1 ou 3). Explicitamente, após as manipulações algébricas:
(o fator 1/2 já incluído anteriormente — mantemos a forma a seguir por clareza), e de forma análoga para u_2'. Para organizar o cálculo, definimos as integrais
de modo que u_1=-I_1 e u_2=I_2. Depois de aplicar as identidades, obtemos (detalhes algébricos mostrados no próximo passo) que as integrais a calcular se reduzem a combinações lineares de:
\int e^{x}\cos x\,dx,\quad \int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx,\quad \int x e^{x}\cos x\,dx,\quad \int x e^{x}\operatorname{sen} x\,dx,
e as mesmas com \cos 3x,\\ \operatorname{sen} 3x. Então precisamos das fórmulas gerais para essas primitivas.
Passo 5
Aulas rápidas (fórmulas úteis) e derivação das primitivas necessárias.
Explicação curta: aplica-se integração por partes duas vezes ou resolve-se o sistema linear gerado; o denominador 1+a^{2} aparece pela combinação das equações.
Primitivas com factor x usando integração por partes (tomando u=x,\\ dv=e^{x}\cos(ax)dx etc.). O resultado geral (com A=1+a^{2}) é
\int x e^{x}\cos(ax)\,dx = e^{x}\!\left[\frac{x(\cos(ax)+a\operatorname{sen}(ax))}{A}-\frac{(1-a^{2})\cos(ax)+2a\operatorname{sen}(ax)}{A^{2}}\right]+C,
\int x e^{x}\operatorname{sen}(ax)\,dx = e^{x}\!\left[\frac{x(\operatorname{sen}(ax)-a\cos(ax))}{A}-\frac{(1-a^{2})\operatorname{sen}(ax)-2a\cos(ax)}{A^{2}}\right]+C.
\int x e^{x}\cos 3x\,dx =e^{x}\!\left[\tfrac{x(\cos 3x+3\operatorname{sen} 3x)}{10}+\tfrac{8\cos 3x-6\operatorname{sen} 3x}{100}\right],
\int x e^{x}\operatorname{sen} 3x\,dx =e^{x}\!\left[\tfrac{x(\operatorname{sen} 3x-3\cos 3x)}{10}+\tfrac{8\operatorname{sen} 3x+6\cos 3x}{100}\right].
Passo 6
Agora voltamos para I_1 e I_2. Substituindo as fórmulas e combinando termos (passo algébrico longo, mas direto: expandir, aplicar as primitivas anteriores e somar constantes) obtemos, escolhendo antiderivadas convenientes (constantes de integração desprezíveis pois entram em y_h):
(Aviso didático: estas expressões resultam de aplicar as primitivas do passo anterior a cada termo do integrando e de organizar coeficientes. As constantes de integração são irrelevantes para uma solução particular, pois alteram apenas a parte homogênea.)
Multiplicando e simplificando cuidadosamente (usar identidades trigonométricas de soma/produto como no passo 4) observa-se que muitas frequências mais altas (\cos 3x,\operatorname{sen} 3x,\cos 5x,\operatorname{sen} 5x) se cancelam entre si; o resultado final simplificado concentra-se apenas nas funções \operatorname{sen} x,\cos x e em termos lineares em x multiplicando \operatorname{sen} x,\cos x. Depois de realizar essas simplificações algébricas completas (mostradas acima nos cálculos parciais), obtemos