1. Determine a menor escala em que qualquer elemento com 50,0 \mathrm{~m} de comprimento terá representação:

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado fornece e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Dado: um elemento de comprimento \,50{,}0\\ \mathrm{m}\,.
  • Pedido do enunciado: “Determine a menor escala em que qualquer elemento com \,50{,}0\\ \mathrm{m}\, de comprimento terá representação:” — aqui falta uma informação essencial que o enunciado deveria dar, por exemplo:
    • o comprimento mínimo, em mapa, que conta como “representação” (por exemplo \,0{,}2\\ \mathrm{mm}, \,0{,}5\\ \mathrm{mm}, \,1{,}0\\ \mathrm{mm}, etc.), ou
    • alguma outra condição que defina o que significa “ter representação” (por exemplo “ocupando pelo menos um pixel”, “com espessura mínima legível”, etc.).
Observação importante: sem a informação do comprimento mínimo no mapa (ou equivalente) não há como calcular numericamente uma escala. Vou explicar exatamente o que falta e como fazer o cálculo assim que essa informação existir; além disso dou exemplos práticos para você entender e aplicar na prova.

Passo 2

Conceito básico e fórmula que vamos usar (a coisa mais importante a saber).
  • Definição de escala do mapa: a escala é uma razão que relaciona um comprimento no mapa com o comprimento correspondente na realidade. Escrevemos isso como \,1:n\,, que significa “uma unidade no mapa corresponde a n unidades no terreno”.
  • Relação entre comprimento no mapa e comprimento no terreno: l_{\text{mapa}}=\frac{L_{\text{terreno}}}{n},onde
    • \,l_{\text{mapa}}\, é o comprimento no mapa (mesma unidade que você escolher, ex.: \mathrm{mm}),
    • \,L_{\text{terreno}}\, é o comprimento real no terreno (mesma unidade que \,l_{\text{mapa}}\,, ex.: \mathrm{mm}),
    • \,n\, é o denominador da escala \,1:n.
  • Invertendo a fórmula para encontrar a escala: n=\frac{L_{\text{terreno}}}{l_{\text{mapa}}}.
Explicação em palavras: para achar a escala basta dividir o comprimento real (convertido para a mesma unidade do mapa) pelo comprimento que esse objeto deve ter no mapa.

Passo 3

Passo a passo sobre unidades — conversão que sempre dá trabalho nas provas (faça assim na folha para não errar).
  • Primeiro passo prático: converta \,L_{\text{terreno}}=\;50{,}0\\ \mathrm{m}\, para \mathrm{mm} (porque em cartografia muitas vezes o comprimento no mapa é dado em \mathrm{mm}).
  • Conversões conhecidas: 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}=1000\\ \mathrm{mm}.
  • Então: L_{\text{terreno}}=50{,}0\\ \mathrm{m}=50{,}0\times1000\\ \mathrm{mm}=50\,000\\ \mathrm{mm}.(Escreva isso na prova: \,50{,}0\\ \mathrm{m}=50\,000\\ \mathrm{mm}\,.)

Passo 4

Como determinar “a menor escala” a partir do comprimento mínimo no mapa — regra prática.
  • Suponha que o menor comprimento que conta como representação no mapa seja \,l_{\min}\\ \mathrm{(no\\ mapa)} (por exemplo \,0{,}2\\ \mathrm{mm}).
  • Então a maior razão n que ainda permite representar \,50{,}0\\ \mathrm{m} com pelo menos \,l_{\min} é n_{\max}=\frac{L_{\text{terreno}}}{l_{\min}}.
  • A escala correspondente é \,1:n_{\max}.
  • Nota sobre terminologia: em cartografia “escala menor” pode gerar confusão — frequentemente diz-se que “escala menor” é aquela com maior denominador (mais geral, menos detalhada). Aqui interpreto a frase do enunciado como “qual é a menor escala (ou seja, a mais reduzida em detalhe) que ainda representa o elemento” — matematicamente isso significa achar o maior n compatível com a condição l_{\text{mapa}}\ge l_{\min}. O procedimento acima dá esse n_{\max}.

Passo 5

Exemplos numéricos práticos (para você saber aplicar na prova sem calculadora complicada):
  • Exemplo A: se o critério for que o elemento precisa ocupar no mapa pelo menos \,0{,}2\\ \mathrm{mm} (valor comum como limite de legibilidade),
    l_{\min}=0{,}2\\ \mathrm{mm}, \qquad L_{\text{terreno}}=50\,000\\ \mathrm{mm}.
    Então
    n=\frac{50\,000}{0{,}2}=250\,000.
    A escala é \,1:250\,000.
  • Exemplo B: se o critério for \,0{,}5\\ \mathrm{mm},
    n=\frac{50\,000}{0{,}5}=100\,000,
    escala \,1:100\,000.
  • Exemplo C: se o critério for \,1{,}0\\ \mathrm{mm},
    n=\frac{50\,000}{1{,}0}=50\,000,
    escala \,1:50\,000.
Interpretação rápida: quanto maior for o menor comprimento exigido no mapa ( l_{\min}), mais detalhada (menor denominador) precisa ser a escala para mostrar os \,50{,}0\\ \mathrm{m}. Se l_{\min} diminui, o denominador cresce.

Passo 6

Resumo do que falta e instrução prática para a sua prova (sem pedir nada, apenas dizendo o que usar).
  • Falta no enunciado o valor de \,l_{\min} (o comprimento mínimo permitido no mapa, em \mathrm{mm} ou outra unidade). Sem esse dado não dá para dar um número único para a escala.
  • Na prova: se lhe der um valor como \,x\\ \mathrm{mm} — siga estes passos escritos assim na sua folha:
    1. converta \,50{,}0\\ \mathrm{m} para \mathrm{mm}: \,50{,}0\\ \mathrm{m}=50\,000\\ \mathrm{mm},
    2. calcule n=\dfrac{50\,000}{x},
    3. escreva a escala como \,1:n (arredonde n para inteiro, se necessário, conforme instrução do professor).
  • Use os exemplos do Passo 5 como referência para checar se seu raciocínio está certo.

Resposta

Impossível determinar numericamente: falta informar o comprimento mínimo de representação no mapa (por exemplo, em \mathrm{mm}); com esse valor \,l_{\min} a escala é \,1:\dfrac{50\,000}{l_{\min}}.

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