Em uma área de forma triangular estão instalados 3 postos pluviométricos, exatamente nos vértices, cujas coordenadas são: \mathrm{A}(0,0) ; \mathrm{B}(0,6 \mathrm{~km}) ; \mathrm{C}(8 \mathrm{~km}, 0). Sendo \mathrm{P}_{\mathrm{A}}=1200 \mathrm{mm}, \mathrm{P}_{\mathrm{B}}=960 \mathrm{~mm} e \mathrm{P}_{\mathrm{C}}=1040 \mathrm{~mm}, calcular a chuva média, a partir do método de Thiessen.
\boldsymbol{(} \mathbf{1 1 0 0 ~ m m} \boldsymbol{)}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
  • Coordenadas dos postos:
    • A(0,0)
    • B(0,6\\ \text{km})
    • C(8\\ \text{km},0)
  • Chuvas medidas:
    • P_A = 1200\\ \text{mm}
    • P_B = 960\\ \text{mm}
    • P_C = 1040\\ \text{mm}
  • O que se pede:
    • Calcular a chuva média na área triangular usando o método de Thiessen (ou seja, média ponderada pelas áreas das regiões de Thiessen dentro do triângulo).

Passo 2

Explicação didática do método de Thiessen e a fórmula que vamos usar.
  • Ideia: cada estação “detém” a chuva de uma região do terreno composta pelos pontos mais próximos dela do que das demais estações. Essas regiões (polígonos de Voronoi) têm áreas A_i. A chuva média segundo Thiessen é a média ponderada pelas áreas:
P_{\text{Thiessen}}=\sum_{i} w_i P_i, \qquad\text{onde}\qquad w_i=\frac{A_i}{A_{\text{total}}}.
  • Aqui P_i é a chuva medida na estação i, A_i é a área da região de Thiessen correspondente à estação i (dentro do triângulo), e A_{\text{total}} é a área total do triângulo.
Agora vamos aplicar isso passo a passo: primeiro encontraremos as áreas A_A,A_B,A_C.

Passo 3

Encontrar as bissetrizes perpendiculares (limites dos polígonos de Thiessen) entre os pares de estações — faço isso com as equações dos locais onde as distâncias a dois pontos são iguais (uso distâncias quadradas para evitar raízes).
  1. Bissetriz entre A e B:
  • Condição d(A,(x,y))^2 \le d(B,(x,y))^2
x^2+y^2 \le x^2+(y-6)^2.
Cortando termos iguais e simplificando:
y^2 \le y^2 -12y +36 \quad\Rightarrow\quad 12y \le 36 \quad\Rightarrow\quad y \le 3.
A fronteira é y=3, que passa pelo ponto médio de AB, (0,3).
  1. Bissetriz entre A e C:
x^2+y^2 \le (x-8)^2 + y^2
leva a
x^2 \le x^2 -16x +64 \quad\Rightarrow\quad 16x \le 64 \quad\Rightarrow\quad x \le 4.
A fronteira é x=4, que passa pelo ponto médio de AC, (4,0).
  1. Bissetriz entre B e C:
x^2+(y-6)^2 \le (x-8)^2 + y^2.
Simplificando:
x^2 + y^2 -12y +36 \le x^2 -16x +64 + y^2
-12y +36 \le -16x +64
16x -12y \le 28
Dividindo por 4:
4x -3y \le 7.
A fronteira é a reta 4x-3y=7. Note que as três bissetrizes se cruzam no ponto (4,3) (o circuncentro), que é também o ponto médio de BC neste triângulo retângulo.

Passo 4

Determinar geometricamente, dentro do triângulo, as regiões onde cada estação é a mais próxima (interseção das meias-plantas obtidas acima).
  • Região atribuída a A: pontos do triângulo que satisfazem simultaneamente y\le 3 e x\le 4. Dentro do triângulo dado, isso é o retângulo com vértices (0,0),(4,0),(4,3),(0,3).
  • Região atribuída a B: pontos do triângulo que satisfazem y\ge 3 e 4x-3y\le 7. No triângulo isso corresponde ao triângulo com vértices (0,6),(0,3),(4,3).
  • Região atribuída a C: pontos do triângulo que satisfazem x\ge 4 e 4x-3y\ge 7. No triângulo isso corresponde ao triângulo com vértices (8,0),(4,0),(4,3).
(Se sentir falta de visão, desenhar o triângulo com as linhas x=4, y=3 e 4x-3y=7 mostra claramente essas três regiões.)

Passo 5

Calcular as áreas A_A,A_B,A_C explicitamente (tudo em \text{km}^2).
  • Área do triângulo total:
A_{\text{total}}=\frac{1}{2}\times \text{base}\times \text{altura} =\frac{1}{2}\times 8\\ \text{km}\times 6\\ \text{km}=24\\ \text{km}^2.
  • Área da região de A: retângulo de lados 4\\ \text{km} (em x) e 3\\ \text{km} (em y):
A_A = 4\cdot 3 = 12\\ \text{km}^2.
  • Área da região de B: triângulo com base 3\\ \text{km} (segmento em AB de y=3 a y=6) e altura 4\\ \text{km} (distância horizontal até x=4):
A_B = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4 = 6\\ \text{km}^2.
  • Área da região de C: triângulo com base 4\\ \text{km} (de x=4 a x=8) e altura 3\\ \text{km}:
A_C = \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 3 = 6\\ \text{km}^2.
Confirmação: A_A+A_B+A_C = 12+6+6 = 24 = A_{\text{total}}.

Passo 6

Calcular os pesos w_i e a média de Thiessen.
  • Pesos:
w_A=\frac{A_A}{A_{\text{total}}}=\frac{12}{24}=0{,}5, \qquad w_B=\frac{6}{24}=0{,}25, \qquad w_C=\frac{6}{24}=0{,}25.
  • Média ponderada (Thiessen):
P_{\text{Thiessen}}=w_A P_A + w_B P_B + w_C P_C =0{,}5\cdot 1200 + 0{,}25\cdot 960 + 0{,}25\cdot 1040.
Calcule cada termo:
0{,}5\cdot 1200 = 600, \quad 0{,}25\cdot 960 = 240, \quad 0{,}25\cdot 1040 = 260.
Somando:
P_{\text{Thiessen}} = 600 + 240 + 260 = 1100\\ \text{mm}.

Passo 7

Resumo rápido e motivacional: deu trabalho desenhar as bissetrizes e identificar as regiões, mas o procedimento é sempre esse — achar as áreas das regiões de Thiessen (ou usar simetrias quando possível), calcular os pesos A_i/A_{\text{total}} e fazer a média ponderada. Você já consegue aplicar isso a qualquer arranjo de estações.

Resposta

\;1100\\ \text{mm}

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