Em uma área de forma triangular estão instalados 3 postos pluviométricos, exatamente nos vértices, cujas coordenadas são:
. Sendo
e
, calcular a chuva média, a partir do método de Thiessen.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
-
Coordenadas dos postos:
-
-
Chuvas medidas:
-
-
O que se pede:
- Calcular a chuva média na área triangular usando o método de Thiessen (ou seja, média ponderada pelas áreas das regiões de Thiessen dentro do triângulo).
Passo 2
Explicação didática do método de Thiessen e a fórmula que vamos usar.
- Ideia: cada estação “detém” a chuva de uma região do terreno composta pelos pontos mais próximos dela do que das demais estações. Essas regiões (polígonos de Voronoi) têm áreas
. A chuva média segundo Thiessen é a média ponderada pelas áreas:
- Aqui
é a chuva medida na estação , é a área da região de Thiessen correspondente à estação (dentro do triângulo), e é a área total do triângulo.
Agora vamos aplicar isso passo a passo: primeiro encontraremos as áreas
.
Passo 3
Encontrar as bissetrizes perpendiculares (limites dos polígonos de Thiessen) entre os pares de estações — faço isso com as equações dos locais onde as distâncias a dois pontos são iguais (uso distâncias quadradas para evitar raízes).
- Bissetriz entre
e :
- Condição
dá
Cortando termos iguais e simplificando:
A fronteira é
, que passa pelo ponto médio de
,
.
- Bissetriz entre
e :
leva a
A fronteira é
, que passa pelo ponto médio de
,
.
- Bissetriz entre
e :
Simplificando:
Dividindo por
:
A fronteira é a reta
. Note que as três bissetrizes se cruzam no ponto
(o circuncentro), que é também o ponto médio de
neste triângulo retângulo.
Passo 4
Determinar geometricamente, dentro do triângulo, as regiões onde cada estação é a mais próxima (interseção das meias-plantas obtidas acima).
-
Região atribuída a
: pontos do triângulo que satisfazem simultaneamente e . Dentro do triângulo dado, isso é o retângulo com vértices . -
Região atribuída a
: pontos do triângulo que satisfazem e . No triângulo isso corresponde ao triângulo com vértices . -
Região atribuída a
: pontos do triângulo que satisfazem e . No triângulo isso corresponde ao triângulo com vértices .
(Se sentir falta de visão, desenhar o triângulo com as linhas
,
e
mostra claramente essas três regiões.)
Passo 5
Calcular as áreas
explicitamente (tudo em
).
- Área do triângulo total:
- Área da região de
: retângulo de lados (em ) e (em ):
- Área da região de
: triângulo com base (segmento em de a ) e altura (distância horizontal até ):
- Área da região de
: triângulo com base (de a ) e altura :
Confirmação:
.
Passo 6
Calcular os pesos
e a média de Thiessen.
- Pesos:
- Média ponderada (Thiessen):
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 7
Resumo rápido e motivacional: deu trabalho desenhar as bissetrizes e identificar as regiões, mas o procedimento é sempre esse — achar as áreas das regiões de Thiessen (ou usar simetrias quando possível), calcular os pesos
e fazer a média ponderada. Você já consegue aplicar isso a qualquer arranjo de estações.