Uma placa de alumínio
,
] com 10 cm de largura por 10 cm de altura e 3cm de espessura, que está inicialmente a uma temperatura uniforme
é repentinamente imersa em um fluido agitado, mantido a uma temperatura constante
. O coeficiente de transferência de calor entre a placa e o fluido é
. Determine o tempo necessário para que o centro da placa atinja
e determine o calor transferido.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (não resolvo nada ainda, só organizando os dados).
Dados fornecidos:
- Placa de alumínio com dimensões: largura
, altura e espessura . - Propriedades do alumínio:
- condutividade térmica
, - densidade
, - capacidade térmica específica
.
- condutividade térmica
- Temperaturas:
- temperatura inicial da placa
, - temperatura do fluido
(mantida constante).
- temperatura inicial da placa
- Coeficiente convectivo
.
O enunciado pede:
- Determinar o tempo necessário para que o centro da placa atinja
. - Determinar o calor transferido (durante esse processo até
).
Informações geométricas e símbolos que usarei:
- Volume da placa
. - Área superficial total exposta à convecção
. - Massa
. - Para decidir o método transiente: número de Biot
e critério de validade do modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance): indica que a temperatura pode ser considerada praticamente uniforme no sólido.
Passo 2
Cálculo das grandezas geométricas essenciais (tudo em notação física e com contas detalhadas).
Volume da placa:
Área superficial total
: a placa tem 6 faces:
- duas faces
cada (total ); - quatro faces laterais
cada (total ).
Logo
Massa da placa:
Capacidade térmica total (massa vezes
):
Comprimento característico (usado no número de Biot): para corpos arbitrários usa-se
:
Passo 3
Cálculo do número de Biot e decisão do modelo (explico o porquê).
Definição do número de Biot:
onde
-
é o coeficiente convectivo, -
é o comprimento característico , -
é a condutividade do sólido.
Calculando:
Interpretação didática: o critério prático para admitir o modelo de “capacitância concentrada” (ou lumped capacitance) é
. Aqui
, muito menor que
. Isso significa que a resistência térmica por condução dentro do sólido é muito pequena em comparação com a resistência convectiva na superfície; a placa fica praticamente à mesma temperatura em todos os pontos durante o resfriamento. Logo, podemos tratar a placa como um corpo com temperatura uniforme que decai exponencialmente no tempo.
Observação intuitiva rápida: quando internamente o calor se distribui muito rápido (alta condutividade ou corpo fino) a temperatura interna fica homogênea; daí o modelo lumped é apropriado.
Passo 4
Apresento a equação do modelo de capacitância concentrada e explico as variáveis.
Equação do balanço de energia para um corpo com temperatura uniforme
trocando calor por convecção com fluido:
Explicando:
-
é a capacidade térmica do corpo (energia necessária para variar 1^\circ\mathrm{C}), -
é a potência de calor removida por convecção (lei de Newton do resfriamento).
Esta EDO tem solução exponencial. Rearranjando e integrando obtemos:
Definindo a constante de tempo
a solução fica
Para obter o tempo quando
atinge um valor desejado
resolvemos:
Passo 5
Cálculo numérico do tempo usando as fórmulas e valores já obtidos.
Primeiro calculemos a constante de tempo
:
Calcule o denominador:
Logo
Agora queremos
. Calculamos a razão adimensional:
Portanto
Sabendo
,
Interpretação: em cerca de
minutos e
segundos o centro (e, na verdade, toda a placa) terá esfriado de
para
.
Passo 6
Cálculo do calor transferido até o instante calculado (energia removida do corpo).
Energia removida do sólido entre
e
(assumindo que a energia perdida pelo sólido foi absorvida pelo fluido):
Substituindo números:
Convite à interpretação: esse é o calor retirado da placa até que ela alcance
. Se quiser, pode-se escrever em kJ:
.