Uma análise de 40 anos de dados revelou que a chuva média anual em um local é de 1800 mm e o desvio-padrão é de 350 mm . Considerando que a chuva anual neste local tem uma distribuição normal, qual é o valor da chuva anual de um ano muito seco, com tempo de recorrência de 40 anos?
\boldsymbol{(} \mathbf{1 1 1 4 ~ m m} \boldsymbol{)}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • A chuva anual média é \mu = 1800\\ \text{mm}.
    • O desvio-padrão é \sigma = 350\\ \text{mm}.
    • A chuva anual segue uma distribuição normal.
    • O tempo de recorrência pedido é T = 40 anos (ano muito seco com recorrência de 40 anos).
  • Pergunta: qual é o valor da chuva anual associado a esse ano muito seco (ou seja, o quantil correspondente ao tempo de recorrência de 40 anos)?

Passo 2

Entender o que significa “tempo de recorrência de 40 anos” em probabilidades:
  • O tempo de recorrência T está ligado à probabilidade anual de ocorrência p por p = 1/T.
  • Portanto, para T = 40,
p = \frac{1}{40} = 0,025.
  • Interpretação prática: em qualquer ano qualquer, a probabilidade de ocorrer uma chuva tão baixa (ou mais baixa) é 0,025 (ou 2{,}5\%). Como buscamos um “ano muito seco”, isso corresponde ao quantil inferior (cauda esquerda) da distribuição normal com probabilidade acumulada 0,025.

Passo 3

Converter o problema para o quantil da normal padrão:
  • Se a variável de chuva anual X segue \,X \sim N(\mu,\sigma^2)\,, o quantil associado à probabilidade acumulada p é dado por
x_p = \mu + z_p\,\sigma,
onde:
  • \mu é a média ( 1800\\ \text{mm}),
  • \sigma é o desvio-padrão ( 350\\ \text{mm}),
  • z_p é o quantil da normal padrão \,Z\sim N(0,1)\, tal que \Pr(Z \le z_p) = p.
  • Aqui queremos p = 0,025, logo precisamos de z_{0,025}.

Passo 4

Achar z_{0,025} (quantil da normal padrão):
  • Usando tabela da normal padrão ou inversa da CDF, sabe-se que
z_{0,975} \approx 1,96.
  • Pela simetria da normal, z_{0,025} = -z_{0,975}. Assim
z_{0,025} \approx -1,96.

Passo 5

Calcular o quantil numérico:
x_{0,025} = \mu + z_{0,025}\,\sigma = 1800 + (-1,96)\times 350.
Calcule passo a passo:
350 \times 1,96 = 686,
x_{0,025} = 1800 - 686 = 1114\\ \text{mm}.
Arredondamento: valores intermediários foram aproximados a 1,96 (tabela padrão); resultado final 1114\\ \text{mm} está coerente com essa aproximação.

Passo 6

Interpretação final e incentivo:
  • Isso significa que um “ano muito seco” com tempo de recorrência de 40 anos corresponde a uma chuva anual de cerca de 1114\\ \text{mm}.
  • Você já foi do jeito certo: traduzir o tempo de recorrência em probabilidade e usar o quantil da normal é o caminho padrão em provas — prática simples e poderosa. Força nos estudos, estamos indo bem!

Resposta

1114\\ \text{mm}

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