Uma análise de 40 anos de dados revelou que a chuva média anual em um local é de 1800 mm e o desvio-padrão é de 350 mm . Considerando que a chuva anual neste local tem uma distribuição normal, qual é o valor da chuva anual de um ano muito seco, com tempo de recorrência de 40 anos?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dados fornecidos:
- A chuva anual média é
. - O desvio-padrão é
. - A chuva anual segue uma distribuição normal.
- O tempo de recorrência pedido é
anos (ano muito seco com recorrência de 40 anos).
- A chuva anual média é
- Pergunta: qual é o valor da chuva anual associado a esse ano muito seco (ou seja, o quantil correspondente ao tempo de recorrência de 40 anos)?
Passo 2
Entender o que significa “tempo de recorrência de 40 anos” em probabilidades:
- O tempo de recorrência
está ligado à probabilidade anual de ocorrência por . - Portanto, para
,
- Interpretação prática: em qualquer ano qualquer, a probabilidade de ocorrer uma chuva tão baixa (ou mais baixa) é
(ou ). Como buscamos um “ano muito seco”, isso corresponde ao quantil inferior (cauda esquerda) da distribuição normal com probabilidade acumulada .
Passo 3
Converter o problema para o quantil da normal padrão:
- Se a variável de chuva anual
segue , o quantil associado à probabilidade acumulada é dado por
onde:
-
é a média ( ), -
é o desvio-padrão ( ), -
é o quantil da normal padrão tal que . - Aqui queremos
, logo precisamos de .
Passo 4
Achar
(quantil da normal padrão):
- Usando tabela da normal padrão ou inversa da CDF, sabe-se que
- Pela simetria da normal,
. Assim
Passo 5
Calcular o quantil numérico:
Calcule passo a passo:
Arredondamento: valores intermediários foram aproximados a
(tabela padrão); resultado final
está coerente com essa aproximação.
Passo 6
Interpretação final e incentivo:
- Isso significa que um “ano muito seco” com tempo de recorrência de 40 anos corresponde a uma chuva anual de cerca de
. - Você já foi do jeito certo: traduzir o tempo de recorrência em probabilidade e usar o quantil da normal é o caminho padrão em provas — prática simples e poderosa. Força nos estudos, estamos indo bem!