(a) Considerando-se o escoamento em regime laminar na região compreendida entre dois tubos concêntricos
horizontais, explique como a vazão volumétrica do fluido pode ser determinada quando são conhecidos os seguintes
dados: comprimento dos tubos (L), diâmetro interno (Di) e externo (De), viscosidade do fluido ( \mu ), densidade
do fluido ( \rho ) e queda de pressão ao longo do tubo (PE-PE).
(b) Discuta a validade da análise para o regime laminar.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar como determinar a vazão volumétrica quando se conhece: comprimento dos tubos L, diâmetro interno D_i (do tubo interno), diâmetro externo D_e (do tubo externo), viscosidade do fluido \mu, densidade do fluido \rho e a queda de pressão ao longo do trecho \Delta P (diferença entre pressão na entrada e na saída ao longo de L).
(b) discutir a validade da análise quando se assume regime laminar.
Informações relevantes dadas (que vamos usar):
  • Tubos concêntricos horizontais (escoamento no anel entre os tubos).
  • Comprimento do trecho: L.
  • Diâmetros: D_i (interno) e D_e (externo).
  • Viscosidade dinâmica: \mu.
  • Densidade: \rho.
  • Queda de pressão ao longo do comprimento: \Delta P.
Não se resolve nada ainda neste passo; apenas listei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Modelagem física e hipóteses (essas hipóteses são cruciais para poder aplicar a fórmula que iremos deduzir; vou explicar cada uma de forma simples):
  • Procura-se o escoamento totalmente desenvolvido, estacionário, incompressível e viscoso (Newtoniano) ao longo do eixo z (direção axial). “Totalmente desenvolvido” significa que o perfil de velocidade não varia mais com z.
  • Geometria: anel cilíndrico entre dois cilindros concêntricos de raios \,R_i=\dfrac{D_i}{2}\, e \,R_o=\dfrac{D_e}{2}\,.
  • Efeito da gravidade nas pressões é desprezível (tubos horizontais).
  • Condições de contorno: não deslizamento (no-slip) nas superfícies: v_z(R_i)=0 e v_z(R_o)=0.
  • A força que impulsiona o escoamento é o gradiente de pressão axial \dfrac{dP}{dz}, que pode ser escrito em termos da queda \Delta P por \dfrac{dP}{dz}=-\dfrac{\Delta P}{L} (pressão decresce na direção +z).
Agora explico a equação que governa o perfil de velocidade para esse caso simples:
Para um escoamento axisimétrico, estacionário e totalmente desenvolvido, a componente axial da equação de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas reduz-se a uma equação de equilíbrio entre o termo viscoso radial e o gradiente de pressão:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\,\frac{dv}{dr}\right)=\frac{1}{\mu}\,\frac{dP}{dz},
onde v(r) é a velocidade axial como função do raio r, \mu é a viscosidade e \dfrac{dP}{dz} é a derivada da pressão ao longo do eixo. Essa equação vem da forma simplificada do Laplaciano axial em simetria cilíndrica; não se assuste — é a versão “um-variável” da equação de Stokes para fluxo axial.

Passo 3

Resolver a equação diferencial para obter o perfil de velocidade v(r).
Integramos a equação passo a passo.
Partimos de
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\,\frac{dv}{dr}\right)=\frac{1}{\mu}\frac{dP}{dz}.
Multiplicando por r e integrando uma vez em r:
\frac{d}{dr}\!\left(r\,\frac{dv}{dr}\right)=\frac{r}{\mu}\frac{dP}{dz} \quad\Longrightarrow\quad r\frac{dv}{dr}=\frac{1}{2\mu}\frac{dP}{dz}\,r^2 + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Dividindo por r e integrando de novo:
\frac{dv}{dr}=\frac{1}{2\mu}\frac{dP}{dz}\,r + \frac{C_1}{r},
v(r)=\frac{1}{4\mu}\frac{dP}{dz}\,r^2 + C_1\ln r + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.
Agora aplicamos as condições de contorno \,v(R_i)=0 e v(R_o)=0:
0=\frac{1}{4\mu}\frac{dP}{dz}\,R_i^2 + C_1\ln R_i + C_2,
0=\frac{1}{4\mu}\frac{dP}{dz}\,R_o^2 + C_1\ln R_o + C_2.
Subtraindo as duas equações para eliminar C_2 e resolvendo para C_1 obtemos
C_1=\frac{1}{4\mu}\frac{dP}{dz}\;\frac{R_o^2-R_i^2}{\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}.
Substituindo C_1 e C_2 de volta, obtemos o perfil de velocidade fechado:
v(r)=\frac{1}{4\mu}\frac{dP}{dz}\left[ r^2 - R_i^2 - (R_o^2-R_i^2)\,\frac{\ln\!\left(\dfrac{r}{R_i}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)} \right].
Dica de interpretação (para a prova): esse perfil é composto por um termo quadrático em r e por um termo logarítmico; as constantes foram fixadas para zerar a velocidade nas paredes.

Passo 4

Calcular a vazão volumétrica Q a partir do perfil de velocidade:
Q=2\pi\int_{R_i}^{R_o} v(r)\,r\,dr.
Substituindo v(r) e integrando, após manipulação e simplificação (mostro a forma final obtida por integração direta; na prova, se pedir, dá para mostrar os passos de integração por partes para o termo com \ln), chega-se à expressão clássica:
Q=-\frac{\pi}{8\mu}\,\frac{dP}{dz}\left[ R_o^4 - R_i^4 - \frac{(R_o^2-R_i^2)^2}{\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)} \right].
Observação sobre o sinal: \dfrac{dP}{dz} é negativo quando a pressão decresce no sentido do escoamento; para usar a queda de pressão positiva \Delta P=P_{\text{in}}-P_{\text{out}}>0 e dP/dz=-\Delta P/L, substituímos:
Q=\frac{\pi}{8\mu}\,\frac{\Delta P}{L}\left[ R_o^4 - R_i^4 - \frac{(R_o^2-R_i^2)^2}{\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)} \right].
Essa é a fórmula que responde (a): dado D_i, D_e, L, \mu e \Delta P, calcula-se R_i=D_i/2 e R_o=D_e/2 e aplica-se a expressão acima para obter Q.
Se preferir escrever diretamente em termos dos diâmetros, basta usar R_i=\dfrac{D_i}{2} e R_o=\dfrac{D_e}{2} na fórmula.

Passo 5

Como aplicar a fórmula na prática (passo-a-passo na prova):
  1. Calcule R_i=\dfrac{D_i}{2} e R_o=\dfrac{D_e}{2}.
  2. Calcule o termo geométrico
\Phi \equiv R_o^4 - R_i^4 - \frac{(R_o^2-R_i^2)^2}{\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}.
  1. Use \dfrac{dP}{dz}=-\dfrac{\Delta P}{L} e então
Q=\frac{\pi}{8\mu}\,\frac{\Delta P}{L}\,\Phi.
  1. Cheque unidades (SI): \Delta P em Pa, L em m, \mu em Pa·s, R em m → Q em m^3/s.

Passo 6

Discussão da validade da análise para o regime laminar (resposta para (b), detalhada e didática):
Quais hipóteses devem ser verificadas para que a fórmula seja válida?
  • Fluido Newtoniano e incompressível. Se o fluido for não-Newtoniano (viscosidade depende de taxa de deformação) a derivação muda.
  • Escoamento estacionário e totalmente desenvolvido: o perfil v(r) não varia com z. Para isso o comprimento L deve ser muito maior do que o comprimento de entrada hidrodinâmico. Para escoamento laminar em tubos, uma estimativa prática do comprimento de entrada é
L_e \approx 0,05\,\mathrm{Re}\,D_h,
onde \mathrm{Re} é o número de Reynolds definido abaixo e D_h= D_e-D_i é o diâmetro hidráulico do anel (no anel D_h=2(R_o-R_i)=D_e-D_i). Então é preciso L\gg L_e para o regime totalmente desenvolvido.
  • As superfícies são aderentes (no-slip) e concêntricas. Se o tubo interno estiver excêntrico a solução muda (há fórmulas diferentes).
  • Ausência de efeitos de compressibilidade e variabilidade de viscosidade ao longo do comprimento.
Como verificar se o escoamento é laminar?
  • Definir velocidade característica média \,U_m=\dfrac{Q}{A}\, onde a área do anel é A=\pi(R_o^2-R_i^2).
  • Número de Reynolds adequado para o anel:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,U_m\,D_h}{\mu}=\frac{\rho\,Q\,(D_e-D_i)}{\mu\,\pi(R_o^2-R_i^2)}.
  • Regra prática: para escoamento em duto circular, o regime laminar costuma ocorrer se \mathrm{Re}\lesssim 2000\!-\!2300. Para anéis concêntricos o valor crítico depende da razão R_i/R_o, mas a ordem de grandeza é a mesma; portanto exija \mathrm{Re} menor que cerca de 2000 para ter segurança de regime laminar. Se \mathrm{Re} for maior, o escoamento pode ficar transicional ou turbulento e a fórmula deduzida (baseada em viscosidade dominante) deixa de ser válida.
Outros pontos práticos:
  • Entrada hidrodinâmica: se L não for grande o suficiente (comparado a L_e), o perfil não estará totalmente desenvolvido e a expressão para Q será aproximada.
  • Rugosidade das superfícies e perturbações podem antecipar a transição para turbulência.
  • Quando R_i\to 0 (tubo cheio), a expressão reduz-se à lei de Hagen–Poiseuille para um tubo circular:
Q=\frac{\pi}{128}\,\frac{\Delta P}{\mu L}\,D^4,
o que é um bom cheque de consistência.
  • Quando o anel for muito estreito ( R_o-R_i\ll R_i) a solução aproxima-se do escoamento entre placas paralelas (Poiseuille plana) com simplificações correspondentes.

Passo 7

Resumo prático e incentivo (rapidinho, para você lembrar na prova):
  • Deduzir o perfil resolvendo a ODE reduzida e aplicar as condições v(R_i)=v(R_o)=0.
  • Integrar para obter Q e substituir \dfrac{dP}{dz}=-\dfrac{\Delta P}{L}.
  • Verificar se \mathrm{Re} é baixo e se L é suficiente para desenvolvimento; se não for, a fórmula não é confiável.

Resposta

(a) Q=\frac{\pi}{8\mu}\,\frac{\Delta P}{L}\left[ R_o^4 - R_i^4 - \frac{(R_o^2-R_i^2)^2}{\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)} \right],\qquad R_i=\frac{D_i}{2},\;R_o=\frac{D_e}{2}.
(b) A análise é válida se as hipóteses forem satisfeitas: fluido Newtoniano e incompressível, escoamento estacionário e totalmente desenvolvido (comprimento L muito maior que o comprimento de entrada), superfícies concêntricas e condição de regime laminar. Verifique a condição de laminaridade calculando
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,U_m\,D_h}{\mu}=\frac{\rho\,Q\,(D_e-D_i)}{\mu\,\pi(R_o^2-R_i^2)},
e exigindo \mathrm{Re}\lesssim 2000 (valor crítico aproximado). Se \mathrm{Re} for maior, ou se L for pequeno, a fórmula não será precisa.

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