(a) Considerando-se o escoamento em regime laminar na região compreendida entre dois tubos concêntricos
horizontais, explique como a vazão volumétrica do fluido pode ser determinada quando são conhecidos os seguintes
dados: comprimento dos tubos (L), diâmetro interno (Di) e externo (De), viscosidade do fluido ( \mu ), densidade
do fluido ( \rho ) e queda de pressão ao longo do tubo (PE-PE).
(b) Discuta a validade da análise para o regime laminar.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar como determinar a vazão volumétrica quando se conhece: comprimento dos tubos L, diâmetro interno D_i (do tubo interno), diâmetro externo D_e (do tubo externo), viscosidade do fluido \mu, densidade do fluido \rho e a queda de pressão ao longo do trecho \Delta P (diferença entre pressão na entrada e na saída ao longo de L).
(b) discutir a validade da análise quando se assume regime laminar.
Informações relevantes dadas (que vamos usar):
Tubos concêntricos horizontais (escoamento no anel entre os tubos).
Comprimento do trecho: L.
Diâmetros: D_i (interno) e D_e (externo).
Viscosidade dinâmica: \mu.
Densidade: \rho.
Queda de pressão ao longo do comprimento: \Delta P.
Não se resolve nada ainda neste passo; apenas listei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Modelagem física e hipóteses (essas hipóteses são cruciais para poder aplicar a fórmula que iremos deduzir; vou explicar cada uma de forma simples):
Procura-se o escoamento totalmente desenvolvido, estacionário, incompressível e viscoso (Newtoniano) ao longo do eixo z (direção axial). “Totalmente desenvolvido” significa que o perfil de velocidade não varia mais com z.
Geometria: anel cilíndrico entre dois cilindros concêntricos de raios \,R_i=\dfrac{D_i}{2}\, e \,R_o=\dfrac{D_e}{2}\,.
Efeito da gravidade nas pressões é desprezível (tubos horizontais).
Condições de contorno: não deslizamento (no-slip) nas superfícies: v_z(R_i)=0 e v_z(R_o)=0.
A força que impulsiona o escoamento é o gradiente de pressão axial \dfrac{dP}{dz}, que pode ser escrito em termos da queda \Delta P por \dfrac{dP}{dz}=-\dfrac{\Delta P}{L} (pressão decresce na direção +z).
Agora explico a equação que governa o perfil de velocidade para esse caso simples:
Para um escoamento axisimétrico, estacionário e totalmente desenvolvido, a componente axial da equação de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas reduz-se a uma equação de equilíbrio entre o termo viscoso radial e o gradiente de pressão:
onde v(r) é a velocidade axial como função do raio r, \mu é a viscosidade e \dfrac{dP}{dz} é a derivada da pressão ao longo do eixo. Essa equação vem da forma simplificada do Laplaciano axial em simetria cilíndrica; não se assuste — é a versão “um-variável” da equação de Stokes para fluxo axial.
Passo 3
Resolver a equação diferencial para obter o perfil de velocidade v(r).
Dica de interpretação (para a prova): esse perfil é composto por um termo quadrático em r e por um termo logarítmico; as constantes foram fixadas para zerar a velocidade nas paredes.
Passo 4
Calcular a vazão volumétrica Q a partir do perfil de velocidade:
Q=2\pi\int_{R_i}^{R_o} v(r)\,r\,dr.
Substituindo v(r) e integrando, após manipulação e simplificação (mostro a forma final obtida por integração direta; na prova, se pedir, dá para mostrar os passos de integração por partes para o termo com \ln), chega-se à expressão clássica:
Observação sobre o sinal: \dfrac{dP}{dz} é negativo quando a pressão decresce no sentido do escoamento; para usar a queda de pressão positiva \Delta P=P_{\text{in}}-P_{\text{out}}>0 e dP/dz=-\Delta P/L, substituímos:
Cheque unidades (SI): \Delta P em Pa, L em m, \mu em Pa·s, R em m → Q em m^3/s.
Passo 6
Discussão da validade da análise para o regime laminar (resposta para (b), detalhada e didática):
Quais hipóteses devem ser verificadas para que a fórmula seja válida?
Fluido Newtoniano e incompressível. Se o fluido for não-Newtoniano (viscosidade depende de taxa de deformação) a derivação muda.
Escoamento estacionário e totalmente desenvolvido: o perfil v(r) não varia com z. Para isso o comprimento L deve ser muito maior do que o comprimento de entrada hidrodinâmico. Para escoamento laminar em tubos, uma estimativa prática do comprimento de entrada é
L_e \approx 0,05\,\mathrm{Re}\,D_h,
onde \mathrm{Re} é o número de Reynolds definido abaixo e D_h= D_e-D_i é o diâmetro hidráulico do anel (no anel D_h=2(R_o-R_i)=D_e-D_i). Então é preciso L\gg L_e para o regime totalmente desenvolvido.
As superfícies são aderentes (no-slip) e concêntricas. Se o tubo interno estiver excêntrico a solução muda (há fórmulas diferentes).
Ausência de efeitos de compressibilidade e variabilidade de viscosidade ao longo do comprimento.
Como verificar se o escoamento é laminar?
Definir velocidade característica média \,U_m=\dfrac{Q}{A}\, onde a área do anel é A=\pi(R_o^2-R_i^2).
Regra prática: para escoamento em duto circular, o regime laminar costuma ocorrer se \mathrm{Re}\lesssim 2000\!-\!2300. Para anéis concêntricos o valor crítico depende da razão R_i/R_o, mas a ordem de grandeza é a mesma; portanto exija \mathrm{Re} menor que cerca de 2000 para ter segurança de regime laminar. Se \mathrm{Re} for maior, o escoamento pode ficar transicional ou turbulento e a fórmula deduzida (baseada em viscosidade dominante) deixa de ser válida.
Outros pontos práticos:
Entrada hidrodinâmica: se L não for grande o suficiente (comparado a L_e), o perfil não estará totalmente desenvolvido e a expressão para Q será aproximada.
Rugosidade das superfícies e perturbações podem antecipar a transição para turbulência.
Quando R_i\to 0 (tubo cheio), a expressão reduz-se à lei de Hagen–Poiseuille para um tubo circular:
Q=\frac{\pi}{128}\,\frac{\Delta P}{\mu L}\,D^4,
o que é um bom cheque de consistência.
Quando o anel for muito estreito (R_o-R_i\ll R_i) a solução aproxima-se do escoamento entre placas paralelas (Poiseuille plana) com simplificações correspondentes.
Passo 7
Resumo prático e incentivo (rapidinho, para você lembrar na prova):
Deduzir o perfil resolvendo a ODE reduzida e aplicar as condições v(R_i)=v(R_o)=0.
Integrar para obter Q e substituir \dfrac{dP}{dz}=-\dfrac{\Delta P}{L}.
Verificar se \mathrm{Re} é baixo e se L é suficiente para desenvolvimento; se não for, a fórmula não é confiável.
(b) A análise é válida se as hipóteses forem satisfeitas: fluido Newtoniano e incompressível, escoamento estacionário e totalmente desenvolvido (comprimento L muito maior que o comprimento de entrada), superfícies concêntricas e condição de regime laminar. Verifique a condição de laminaridade calculando