Uma área para instalação de turbinas eólicas tem um plano inclinado descrito pela equação
4 x-y+2 z=10
A direção do vento predominante é dada pelo vetor
v=(2,3,-1)
Determine a equação do plano que é perpendicular à direção do vento e passa pela origem.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de geometria envolvendo planos e vetores. O enunciado nos dá a equação de um plano inclinado e a direção do vento representada por um vetor. A tarefa é encontrar a equação de um novo plano que seja perpendicular à direção do vento e que passe pela origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como os vetores normais dos planos funcionam e como usar essas informações para montar a equação do plano desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de um plano pode ser escrita na forma:
a x + b y + c z = d
Aqui, (a, b, c) é o vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que é perpendicular ao plano. No nosso caso, queremos encontrar um plano que seja perpendicular à direção do vento. Isso significa que o vetor normal do plano será paralelo ao vetor da direção do vento.

Passo 3

O vetor da direção do vento é dado por v = (2, 3, -1). Como o vetor normal do plano precisa ser paralelo a v, podemos usar os mesmos componentes para o vetor normal do nosso novo plano. Então, o vetor normal será também (2, 3, -1).

Passo 4

Com o vetor normal (2, 3, -1), a equação geral do plano fica:
2 x + 3 y - z = d
Agora, precisamos encontrar o valor de d. Sabemos que o plano deve passar pela origem, que é o ponto (0, 0, 0). Vamos substituir esses valores na equação para encontrar d.

Passo 5

Substituindo x = 0, y = 0 e z = 0 na equação do plano:
2(0) + 3(0) - (0) = d 0 + 0 - 0 = d d = 0

Resposta

A equação do plano perpendicular à direção do vento e que passa pela origem é:
2 x + 3 y - z = 0

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