Encontre, se existir, a inversa das matrizes abaixo por dois métodos: pela definição e por matriz de cofatores. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a inversa da matriz B = -2 & 4 1 & 5 usando dois métodos: pela definição e pela matriz de cofatores. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes inversas e os métodos mencionados.
Passo 2
Primeiro, vamos pelo método da definição. Para uma matriz 2 times 2 , a inversa existe se o determinante da matriz for diferente de zero. O determinante de B , denotado por det(B) , é calculado assim:
det(B) = (-2)(5) - (4)(1) = -10 - 4 = -14
Como det(B) neq 0 , a inversa existe.
Passo 3
Agora, usando a definição para matrizes 2 times 2 , a inversa de B é dada por:
B^-1 = 1det(B) d & -b -c & a
onde B = a & b c & d . No nosso caso, a = -2 , b = 4 , c = 1 e d = 5 . Substituindo:
B^-1 = 1-14 5 & -4 -1 & -2 = -514 & 414 114 & 214
Simplificando as frações:
B^-1 = -514 & 27 114 & 17
Passo 4
Agora, vamos pelo método da matriz de cofatores. Primeiro, precisamos calcular a matriz de cofatores de B . Para uma matriz 2 times 2 , os cofatores são simplesmente os elementos trocados de posição com sinais alternados:
Cofatores = d & -b -c & a = 5 & -4 -1 & -2
Passo 5
Em seguida, a transposta da matriz de cofatores é a adjunta de B :