Encontre, se existir, a inversa das matrizes abaixo por dois métodos: pela definição e por matriz de cofatores.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa da matriz
usando dois métodos: pela definição e pela matriz de cofatores. Aqui, estamos trabalhando com álgebra matricial, especificamente com matrizes
. Para encontrar a inversa de uma matriz, precisamos garantir que a matriz seja invertível, ou seja, que exista sua inversa.
Passo 2
Método 1: Pela definição
Primeiro, vamos lembrar a definição de matriz inversa. A inversa de uma matriz
, denotada por
, é a matriz que, quando multiplicada por
, resulta na matriz identidade. Para matrizes
, a matriz identidade é simplesmente
.
Então, queremos encontrar
tal que:
Sabemos que
. Vamos chamar
. Então:
Multiplicando os elementos:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por -5:
Portanto, a inversa de
pelo método da definição é
.
Passo 3
Método 2: Pela matriz de cofatores
Agora, vamos usar o método da matriz de cofatores. Para matrizes
, a matriz de cofatores é simplesmente
, já que não há menores ou cofatores a calcular.
A fórmula para a inversa usando a matriz de cofatores é:
Onde
é o determinante de
e
é a adjunta de
.
Primeiro, calculamos o determinante de
:
Como a matriz é
, a adjunta
é
.
Então, substituindo na fórmula:
Portanto, pela matriz de cofatores, a inversa de
é
.
Resposta
A inversa da matriz
é
, encontrada tanto pela definição quanto pelo método da matriz de cofatores.