- Uma esfera de área
está inscrita em um cubo. A área total do cubo é
a) 4
b)
c)
d) 8
a) 4
b)
c)
d) 8
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só. Informações: a esfera tem área
e ela está inscrita em um cubo (ou seja, a esfera cabe dentro do cubo tocando todas as faces). Pergunta: qual é a área total do cubo (entre as alternativas dadas)?
Passo 2
Primeiro precisamos traduzir “área da esfera” em uma fórmula que conhecemos. A fórmula da área da superfície de uma esfera é
onde
é o raio da esfera. Aqui cada símbolo significa:
-
é a área da superfície da esfera (o que o enunciado deu como ); -
é a constante ; -
é o raio da esfera; e - o fator
vem da geometria da esfera (não precisa decorar além de saber a fórmula).
Aplicando a fórmula ao dado do enunciado:
Passo 3
Agora isolamos
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Portanto
Explicação curta: como só apareceu
, basta dividir e tirar a raiz quadrada; não precisamos de calculadora porque fica uma expressão exata.
Passo 4
Agora relacionamos o raio da esfera com a aresta do cubo. Uma esfera inscrita em um cubo toca todas as seis faces do cubo, então o diâmetro da esfera
é igual à aresta do cubo
. Logo
Simplificando
: multiplicando numerador e denominador por
ou usando a identidade
, obtemos
Passo 5
A área total (superfície) de um cubo de aresta
é a soma das áreas das seis faces. Cada face tem área
, então
Substituindo
,
Portanto a área total do cubo, calculada corretamente, é
.
Passo 6
Vamos comparar com as alternativas dadas:
a)
b) (aprox.
)
c) (aprox.
)
d)
a)
b)
c)
d)
Nenhuma dessas alternativas é igual a
. Conclusão: o valor correto é
e nenhuma das alternativas fornecidas corresponde a esse valor (provavelmente há um erro de impressão nas opções).
Resposta
Nenhuma das alternativas: