1. A área da interseção de um plano com uma bola de raio 13 é 144 \pi. A distância do plano ao centro da bola é
    a) 1
    b) 5
    c) 8
    d) 12

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Dá uma bola (esfera) com raio 13.
  • Diz que a interseção de um plano com essa bola tem área 144\pi.
  • Pede a distância do plano ao centro da bola.
  • Apresenta alternativas: (a) 1, (b) 5, (c) 8, (d) 12.

Passo 2

Entender o que significa a interseção do plano com a esfera. Quando um plano corta uma esfera, a interseção é sempre um círculo (se o plano cortar efetivamente a esfera). Vamos definir variáveis simples e claras:
  • R = raio da esfera. Aqui R=13.
  • d = distância (perpendicular) do centro da esfera ao plano — é o que queremos encontrar.
  • r = raio do círculo de interseção (o círculo que aparece na seção do plano).
    A área do círculo de interseção é dada pela fórmula da área de um círculo.

Passo 3

Fórmula da área de um círculo: a área A de um círculo de raio r é
A=\pi r^{2}
Aqui o enunciado dá A=144\pi. Usando a fórmula, podemos achar r.

Passo 4

Calcular r a partir da área dada. Igualando:
\pi r^{2}=144\pi
Dividindo ambos os lados por \pi obtemos
r^{2}=144
Tomando a raiz quadrada positiva (raio é positivo),
r=12

Passo 5

Relacionar R, r e d. Geometricamente, do centro da esfera até um ponto do círculo de interseção forma-se um triângulo retângulo: a hipotenusa é R, um cateto é d (distância até o plano) e o outro cateto é r (raio do círculo). Pela relação de Pitágoras:
R^{2}=d^{2}+r^{2}

Passo 6

Substituir os valores conhecidos e resolver para d. Temos R=13 e r=12, então
d^{2}=R^{2}-r^{2}=13^{2}-12^{2}=169-144=25
Portanto
d=\sqrt{25}=5
A distância é não negativa, então pegamos d=5.

Passo 7

Conferindo com as alternativas dadas: a alternativa correta é a (b), que corresponde a 5. Força aí que é um cálculo direto — lembra: área → raio do círculo → Pitágoras para achar a distância.

Resposta

(b) 5

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