Estimar, utilizando o método de Penma (Tabelas 2.2 e 2.3), a evaporação ocorrida no reservatório de Guarapiranga (São Paulo - latitude 23^{\circ} \mathrm{S} ) em um dia no mês de outubro, em que se verificaram os valores abaixo e determine a população que poderia ser abastecida com a água perdida por evaporação, considerando:
t - temperatura média =18^{\circ} \mathrm{C}
n - número de horas de sol =10 \mathrm{~h}
h - umidade relativa do ar =60 \%=0,6
u2 - velocidade do vento a 2 m do solo =5,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
área do reservatório =10 \mathrm{~km}^{2}
consumo per capta de 250 \mathrm{l} / \mathrm{hab} / \mathrm{dia}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) estimar a evaporação ocorrida num dia de outubro no reservatório de Guarapiranga e (2) determinar a população que poderia ser abastecida com a água perdida por evaporação.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{temperatura média: }T=18^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{horas de sol: }n=10\\ \mathrm{h}\\\ &\text{umidade relativa: }h=60\%=0{,}6\\\ &\text{velocidade do vento a 2 m: }u_2=5{,}5\\ \mathrm{m/s}\\\ &\text{área do reservatório: }A=10\\ \mathrm{km}^2\\\ &\text{consumo per capita: }250\\ \mathrm{L/(hab\cdot dia)=0{,}25\\ m^3/(hab\cdot dia)} \end{aligned}éáó
Não há tabela anexada, apenas os dados acima. A resolução começa a partir desses valores.

Passo 2

Assunções necessárias (não pedidas explicitamente no enunciado, mas comuns em problemas práticos e necessárias porque as Tabelas 2.2/2.3 não foram fornecidas):
  • Vou usar o método de Penman na forma prática adotada em FAO-56 (fórmula de referência), que é usual em estimativas de evaporação diárias. Explico a seguir cada termo.
  • Coeficientes de Ångström para converter horas de sol em radiação solar: a_s=0{,}25,\; b_s=0{,}50 (valores típicos quando tabelas não estão disponíveis).
  • Albedo (refletância de onda curta) para água aberta: \alpha=0{,}06.
  • Elevação do local (para ajustar pressão atmosférica): adoto z=760\\ \mathrm{m} (valor típico para São Paulo; se você tiver outro valor, o resultado muda pouco).
  • Dia escolhido para outubro: uso o dia central de outubro, J=288 (15 de outubro) como representante do mês.
    Vou explicar cada fórmula e variável quando for aplicá-las.

Passo 3

Definição e constantes:
\begin{aligned} &G_{sc}=0{,}0820\\ \mathrm{MJ\\ m^{-2}\\ min^{-1}}\quad(\text{constante solar})\\\ &\text{ângulo horário do pôr do sol: }\omega_s=\operatorname{arccos}(-\tan\varphi\tan\delta)\\\ &\text{radiação extraterrestre diária:} \end{aligned}âáôçãá
R_a=\frac{24\cdot60}{\pi}\,G_{sc}\,d_r\left[\omega_s\sin\varphi\sin\delta+\cos\varphi\cos\delta\sin\omega_s\right]
onde
d_r=1+0{,}033\cos\!\left(\frac{2\pi J}{365}\right),\qquad \delta=0{,}409\sin\!\left(\frac{2\pi J}{365}-1{,}39\right)
e \varphi é a latitude (negativa no Hemisfério Sul). Para Guarapiranga:
\varphi=-23^\circ=-0{,}4014\\ \mathrm{rad},\qquad J=288.
Cálculo (passo a passo):
\frac{2\pi J}{365}\approx4{,}958
d_r\approx1+0{,}033\cos(4{,}958)\approx1{,}00802
\delta\approx0{,}409\sin(3{,}568)\approx-0{,}1696\\ \mathrm{rad}
\omega_s=\operatorname{arccos}(-\tan(-0{,}4014)\tan(-0{,}1696))\approx1{,}643\\ \mathrm{rad}
R_a\approx38{,}4\\ \mathrm{MJ\\ m^{-2}\\ dia^{-1}}

Passo 4

Hora do dia astronômica (duração do dia):
N=\frac{24}{\pi}\,\omega_s\approx\frac{24}{\pi}\cdot1{,}643\approx12{,}56\\ \mathrm{h}.
Fração de horas de sol:
\frac{n}{N}=\frac{10}{12{,}56}\approx0{,}7968.

Passo 5

A relação de Ångström:
R_s=(a_s+b_s\frac{n}{N})\,R_a
com a_s=0{,}25,\;b_s=0{,}50. Assim:
R_s=(0{,}25+0{,}50\cdot0{,}7968)\cdot38{,}4\approx0{,}6484\cdot38{,}4\approx24{,}9\\ \mathrm{MJ\\ m^{-2}\\ dia^{-1}}.

Passo 6

Fórmula de radiação de céu claro:
R_{so}=(0{,}75+2\cdot10^{-5}z)\,R_a.
Com z=760\\ \mathrm{m}:
R_{so}\approx(0{,}75+0{,}0152)\cdot38{,}4\approx29{,}4\\ \mathrm{MJ\\ m^{-2}\\ dia^{-1}}.
Radiação líquida de onda curta (após reflexão):
R_{ns}=(1-\alpha)\,R_s=(1-0{,}06)\cdot24{,}9\approx0{,}94\cdot24{,}9\approx23{,}40\\ \mathrm{MJ\\ m^{-2}\\ dia^{-1}}.

Passo 7

Usamos a fórmula empírica de FAO-56:
R_{nl}=\sigma\frac{(T_{max,K}^4+T_{min,K}^4)}{2}\,(0{,}34-0{,}14\sqrt{e_a})\left(1{,}35\frac{R_s}{R_{so}}-0{,}35\right),
onde \sigma=4{,}903\cdot10^{-9}\\ \mathrm{MJ\\ K^{-4}\\ m^{-2}\\ dia^{-1}}, T_K em Kelvin e e_a pressão de vapor real (kPa). Sem T_{max} e T_{min} disponíveis, aproximo com T_{m}=18^\circ\mathrm{C} para ambos:
T_K=18+273{,}16=291{,}16\\ \mathrm{K}.
Pressão de vapor de saturação e_s (Tetens):
e_s=0{,}6108\exp\!\left(\frac{17{,}27T}{T+237{,}3}\right)
para T=18^\circ\mathrm{C}:
e_s\approx0{,}6108\exp(1{,}2175)\approx2{,}064\\ \mathrm{kPa}.
Pressão de vapor atual:
e_a=h\cdot e_s=0{,}6\cdot2{,}064\approx1{,}238\\ \mathrm{kPa}.
Agora calcular R_{nl}:
\sigma\frac{(T_K^4+T_K^4)}{2}=\sigma T_K^4\approx4{,}903\cdot10^{-9}\cdot7{,}19\cdot10^{9}\approx35{,}26\\ \mathrm{MJ\\ m^{-2}\\ dia^{-1}}
(0{,}34-0{,}14\sqrt{e_a})\approx0{,}34-0{,}14\cdot1{,}114\approx0{,}184
1{,}35\frac{R_s}{R_{so}}-0{,}35\approx1{,}35\cdot\frac{24{,}9}{29{,}4}-0{,}35\approx0{,}795
R_{nl}\approx35{,}26\cdot0{,}184\cdot0{,}795\approx5{,}16\\ \mathrm{MJ\\ m^{-2}\\ dia^{-1}}.

Passo 8

R_n=R_{ns}-R_{nl}\approx23{,}40-5{,}16\approx18{,}24\\ \mathrm{MJ\\ m^{-2}\\ dia^{-1}}.
Explicação: R_n é a energia disponível para evaporação (energia curta absorvida menos energia longa emitida).

Passo 9

Declive da curva de pressão de vapor:
\Delta=\frac{4098\,e_s}{(T+237{,}3)^2}
com e_s=2{,}064\\ \mathrm{kPa} e T+237{,}3=255{,}3:
\Delta\approx\frac{4098\cdot2{,}064}{255{,}3^2}\approx0{,}1298\\ \mathrm{kPa/^\circ C}.
Constante psicrométrica (aproximação):
\gamma=0{,}000665\,P,
onde P é a pressão atmosférica (kPa). Estimo P pela altitude:
P\approx101{,}3\left(\frac{293-0{,}0065z}{293}\right)^{5{,}26}\Rightarrow P\approx92{,}65\\ \mathrm{kPa}
para z=760\\ \mathrm{m}. Então
\gamma\approx0{,}000665\cdot92{,}65\approx0{,}0616\\ \mathrm{kPa/^\circ C}.

Passo 10

Fórmula (diária, G≈0):
ET_0=\frac{0{,}408\,\Delta\,(R_n-G)+\gamma\frac{900}{T+273}u_2(e_s-e_a)}{\Delta+\gamma(1+0{,}34u_2)}
Explicando termos:
  • 0{,}408 converte MJ m^{-2} dia^{-1} em mm água (energia por unidade de evaporação).
  • G fluxo de calor no solo diário ≈ 0.
    Substituindo valores:
\begin{aligned} &0{,}408\Delta R_n=0{,}408\cdot0{,}1298\cdot18{,}24\approx0{,}9654\\\ &\gamma\frac{900}{T+273}u_2(e_s-e_a)=0{,}0616\cdot\frac{900}{291{,}16}\cdot5{,}5\cdot0{,}826\approx0{,}8659\\\ &\text{denominador }=\Delta+\gamma(1+0{,}34u_2)=0{,}1298+0{,}0616(1+0{,}34\cdot5{,}5)\approx0{,}3066 \end{aligned}
Assim:
ET_0\approx\frac{0{,}9654+0{,}8659}{0{,}3066}\approx\frac{1{,}8313}{0{,}3066}\approx5{,}98\\ \mathrm{mm/dia}.
Comentário didático: esse ET_0 é a evaporação de referência (grama curta), mas para água aberta a evaporação tende a ser parecida ou ligeiramente maior. Podemos tomar E\approx ET_0 ou aplicar pequeno fator para água aberta; aqui adotarei E\approx ET_0 como estimativa prática.

Passo 11

Lâmina diária:
E\approx5{,}98\\ \mathrm{mm/dia}=0{,}00598\\ \mathrm{m/dia}.
Área do reservatório:
A=10\\ \mathrm{km}^2=10\cdot10^{6}\\ \mathrm{m}^2.
Volume perdido por dia:
V=E\cdot A=0{,}00598\cdot10{,}000{,}000\approx59{,}800\\ \mathrm{m^3/dia}\approx6,0\cdot10^{4}\\ \mathrm{m^3/dia}.
Número de pessoas atendidas com esse volume:
\text{pop}=\frac{V}{\text{consumo per capita}}=\frac{59{,}800}{0{,}25}\approx239{,}200\\ \text{habitantes}.
Arredondando de forma prática: aproximadamente 240{,}000 habitantes.

Passo 12

  • Resultado final baseado em algumas aproximações: escolha de dia médio de outubro ( J=288), coeficientes de Ångström (a_s,b_s), albedo de água e elevação z. Se alguma dessas suposições for diferente na sua tabela (Tabelas 2.2/2.3), substitua os valores e refaça os passos; a metodologia é a mesma.
  • A ordem de grandeza (lâmina da ordem de 6\\ \mathrm{mm/dia}, volume ~ 6\cdot10^4\\ \mathrm{m^3/dia}, população ~ 2{,}4\cdot10^5) é típica para um dia de outubro com os parâmetros dados.
  • Se quiser, eu refaço usando outro dia de outubro, outro valor de altitude ou coeficientes da sua tabela para refinar.

Resposta

Evaporação estimada: 5{,}98\\ \mathrm{mm/dia} \approx 59{,}800\\ \mathrm{m^3/dia}.
População que poderia ser abastecida: \approx 239{,}200\\ \text{habitantes} (aproximadamente 240{,}000).

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