O Projeto de Irrigação de Morada Nova (PIMN) foi implantado nos anos 1970 irrigando solos aluvionares nas proximidades da cidade de Morada Nova. O sistema de irrigação é totalmente gravitário alimentado por um canal principal que deriva água do rio Banabuiu. O método de irrigação utilizado é irrigação por inundação com baixa eficiência. Uma área de 5000 hectares neste perímetro é utilizada para a produção de arroz (coeficiente de cultura de 1,2). A COGERH/DNOCS necessita, para operar o reservatório do Banabuiu que abastece o PIMN, saber qual a demanda de água do perímetro. Sua tarefa é estimar a demanda da cultura do arroz no mês de agosto conhecendo as temperaturas médias mensais conforme apresentado na tabela abaixo. Utilize o Método de Thornthwaite.
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
26,9 27,3 26,7 26,6 26,7 26 26 26,6 27,6 27,9 28,4 28,3

Passo 1

O que o problema pede e o que temos de dados.
  • Pedido: estimar a demanda de água da cultura do arroz no mês de agosto para o perímetro de irrigação (área total 5000 hectares).
  • Dados fornecidos: área do perímetro \,5000\\ \text{ha}, coeficiente de cultura do arroz \,K_c=1,2, e as temperaturas médias mensais (em °C) retiradas da tabela do enunciado:
\begin{matrix} \text{Jan}&\text{Fev}&\text{Mar}&\text{Abr}&\text{Mai}&\text{Jun}&\text{Jul}&\text{Ago}&\text{Set}&\text{Out}&\text{Nov}&\text{Dez}\\\\ 26,9&27,3&26,7&26,6&26,7&26&26&26,6&27,6&27,9&28,4&28,3 \end{matrix}
  • Informação extra mencionada: irrigação por inundação com baixa eficiência. Como o enunciado não dá um valor numérico de eficiência, vou assumir uma eficiência típica para irrigação por inundação de baixa eficiência: e=0{,}50 (50%). Se você tiver outro valor de eficiência, posso recalcular facilmente.
  • Observação: o mês de agosto tem \,T_{\text{ago}}=26{,}6^\circ\text{C} e \,N_{\text{ago}}=31 dias (usados abaixo).

Passo 2

Apresentação do método de Thornthwaite e cálculo do índice de calor anual I.
  • O método de Thornthwaite exige primeiro o cálculo do índice térmico anual
I=\sum_{m=1}^{12}\left(\frac{T_m}{5}\right)^{1{,}514},
onde T_m é a temperatura média do mês m em ^\circ\text{C}. Cada termo só entra se T_m>0^\circ\text{C} (aqui todos são positivos).
  • Vou calcular para cada mês o termo \left(\dfrac{T_m}{5}\right)^{1{,}514}. Usando os valores da tabela eu obtive (valores arredondados com 2 casas):
    \left(\dfrac{26{,}9}{5}\right)^{1{,}514}=12{,}78,
    \left(\dfrac{27{,}3}{5}\right)^{1{,}514}=13{,}05,
    \left(\dfrac{26{,}7}{5}\right)^{1{,}514}=12{,}63,
    \left(\dfrac{26{,}6}{5}\right)^{1{,}514}=12{,}57,
    \left(\dfrac{26{,}7}{5}\right)^{1{,}514}=12{,}63,
    \left(\dfrac{26{,}0}{5}\right)^{1{,}514}=12{,}12,
    \left(\dfrac{26{,}0}{5}\right)^{1{,}514}=12{,}12,
    \left(\dfrac{26{,}6}{5}\right)^{1{,}514}=12{,}57 (valor de agosto),
    \left(\dfrac{27{,}6}{5}\right)^{1{,}514}=13{,}32,
    \left(\dfrac{27{,}9}{5}\right)^{1{,}514}=13{,}50,
    \left(\dfrac{28{,}4}{5}\right)^{1{,}514}=13{,}88,
    \left(\dfrac{28{,}3}{5}\right)^{1{,}514}=13{,}77.
  • Somando todos esses termos tenho o índice anual
I \approx 154{,}94.

Passo 3

Cálculo do expoente empírico a usado na fórmula de Thornthwaite.
  • A constante a é dada pela expressão polinomial (Thornthwaite):
a=6{,}75\times10^{-7}I^{3}-7{,}71\times10^{-5}I^{2}+1{,}792\times10^{-2}I+0{,}49239.
  • Substituindo I\approx154{,}94 obtemos (cálculo passo a passo mostrado abaixo):
    \,I^{2}\approx24006{,}4, \,I^{3}\approx3{,}719{,}552.
    Então a\approx 6{,}75\times10^{-7}\cdot3{,}719{,}552 -7{,}71\times10^{-5}\cdot24006{,}4 +1{,}792\times10^{-2}\cdot154{,}94 +0{,}49239.Avaliando esses termos resulta em a\approx3{,}93.

Passo 4

Fórmula mensal de evapotranspiração potencial (PET) de Thornthwaite e cálculo para agosto.
  • A fórmula mensal de Thornthwaite é
\text{PET}_m = 16\left(\frac{10\,T_m}{I}\right)^{a}\left(\frac{N_m}{30}\right)\left(\frac{L_m}{12}\right),
onde:
  • \text{PET}_m é a evapotranspiração potencial no mês m (em mm/mês),
  • T_m é a temperatura média do mês (em ^\circ\text{C}),
  • I é o índice anual calculado no Passo 2,
  • a é o coeficiente calculado no Passo 3,
  • N_m é o número de dias do mês m,
  • L_m é a média mensal das horas de luz diurna (comprimento do dia) no mês m em horas.
  • Observação prática: perto do Equador (Morada Nova, CE, fica em latitude baixa) o fator \dfrac{L_m}{12} é aproximadamente 1 ao longo do ano; portanto, para uma estimativa mensal podemos tomar \dfrac{L_{\text{ago}}}{12}\approx1. (Se você quiser precisão maior, usando latitude exata podemos calcular L_m mês a mês.)
  • Substituindo os valores de agosto: T_{\text{ago}}=26{,}6, N_{\text{ago}}=31, I=154{,}94, a=3{,}93, obtemos \left(\frac{10\,T_{\text{ago}}}{I}\right)=\frac{10\cdot26{,}6}{154{,}94}\approx1{,}717,
\left(\frac{10\,T_{\text{ago}}}{I}\right)^{a}\approx 1{,}717^{3{,}93}\approx8{,}35.
Assim
\text{PET}_{\text{ago}} \approx 16\cdot 8{,}35\cdot\frac{31}{30}\cdot1 \approx 138{,}0\\ \text{mm/mês}.ê

Passo 5

Cálculo da evapotranspiração da cultura (ETc) no mês de agosto usando o coeficiente de cultura K_c.
  • Definição: a evapotranspiração da cultura é
\text{ETc} = K_c \cdot \text{PET}.
  • Substituindo K_c=1{,}2 e \text{PET}_{\text{ago}}\approx138{,}0\\ \text{mm} temos
\text{ETc}_{\text{ago}} \approx 1{,}2 \times 138{,}0 \approx 165{,}6\\ \text{mm/mês}.ê
Isto é a demanda líquida de água da cultura (profundidade de água necessária no mês, sem considerar perdas por ineficiência).

Passo 6

Converter profundidade de água (mm) em volume para a área do perímetro.
  • Regra prática: 1\\ \text{mm} sobre 1\\ \text{ha} corresponde a 10\\ \text{m}^3.
  • Portanto o volume líquido (necessidade real na cultura) para \,5000\\ \text{ha} é
V_{\text{líq}} = \text{ETc}\\ (\text{mm})\times \text{área (ha)} \times 10\\ \left(\frac{\text{m}^3}{\text{ha}\cdot\text{mm}}\right).íá
  • Substituindo \text{ETc}_{\text{ago}}=165{,}6\\ \text{mm} e \text{área}=5000\\ \text{ha}á
V_{\text{líq}} \approx 165{,}6 \times 5000 \times 10 = 8{,}28\times10^{6}\\ \text{m}^3.í

Passo 7

Corrigir pela eficiência de irrigação para obter a demanda bruta (água retirada do reservatório) e calcular vazões médias.
  • Com eficiência de irrigação e a lâmina bruta requerida é
\text{Lâmina bruta} = \frac{\text{ETc}}{e}.â
  • Com e=0{,}50 temos
\text{Lâmina bruta}_{\text{ago}} = \frac{165{,}6}{0{,}50} = 331{,}2\\ \text{mm}.â
  • Volume bruto para \,5000\\ \text{ha}:
V_{\text{bruto}} = 331{,}2 \times 5000 \times 10 = 1{,}656\times10^{7}\\ \text{m}^3.
  • Vazão média necessária ao longo do mês (usando 31 dias):
    • Volume por dia: \dfrac{V_{\text{bruto}}}{31}\approx 5{,}34\times10^{5}\\ \text{m}^3/\text{dia}.
    • Vazão média em \text{m}^3/\text{s}:
    Q_{\text{méd}} = \frac{V_{\text{bruto}}}{31\cdot86400}\approx 6{,}19\\ \text{m}^3/\text{s}.é

Passo 8

Resumo das incertezas e recomendação rápida.
  • Principais fontes de incerteza: escolha de e (eficiência de irrigação) e aproximação \dfrac{L_m}{12}\approx1. Se você tiver a eficiência real do sistema (p.ex. e=0{,}40 ou e=0{,}60) ou a latitude exata para calcular L_m, posso refazer os números rapidamente.
  • Conclusão prática: usando Thornthwaite com os dados fornecidos e adotando e=0{,}50, temos os valores calculados abaixo.

Resposta

Demanda líquida (ETc) em agosto: 165{,}6\\ \text{mm}.
Demanda bruta (assumindo eficiência e=0{,}50): 331{,}2\\ \text{mm}.
Volume líquido para 5000\\ \text{ha}: 8{,}28\times10^{6}\\ \text{m}^3.
Volume bruto para 5000\\ \text{ha} (reservatório → perímetro): 1{,}656\times10^{7}\\ \text{m}^3.
Vazão média necessária no mês (bruta): 5,34\times10^{5}\\ \text{m}^3/\text{dia} \approx 6{,}19\\ \text{m}^3/\text{s}.

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