A área lateral de um cilindro circular reto é 72 π cm², e seu volume é 6 vezes o volume de um cone circular reto que tem 18 cm de altura. Sabendo que a medida do raio da base do cilindro é o dobro da medida do raio da base do cone, então a medida do raio da base do cone é.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria envolvendo um cilindro e um cone. A área lateral do cilindro é 72pi cm², e o volume dele é 6 vezes o volume de um cone que tem 18 cm de altura. Além disso, o raio da base do cilindro é o dobro do raio da base do cone. Nosso objetivo é descobrir qual é o raio da base do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar:
  • Área Lateral do Cilindro: $ A_L = 2\pi r_c h_c $
    Onde $ r_c $ é o raio do cilindro e $ h_c $ é a altura do cilindro.
  • Volume do Cilindro: $ V_c = \pi r_c^2 h_c $
  • Volume do Cone: $ V_{cone} = \frac{1}{3}\pi r_{cone}^2 h_{cone} $
Sabemos que o raio do cilindro é o dobro do raio do cone, ou seja, $ r_c = 2r_{cone} $.

Passo 3

Vamos começar usando a informação da área lateral do cilindro. Sabemos que:
AL = 2pi rc hc = 72pi
Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por $ 2\pi $:
2pi
rc hc = 72pi2pi

Passo 4

Agora, vamos relacionar os volumes. Sabemos que:
Vc = 6 times Vcone
Substituindo as fórmulas dos volumes:
pi rc^2 hc = 6 times ( 13pi rcone^2 hcone )
Simplificando o lado direito:
pi rc^2 hc = 2pi rcone^2 hcone
Podemos cancelar $ \pi $ dos dois lados:
pi

Passo 5

Sabemos que $ r_c = 2r_{cone} $ e que a altura do cone $ h_{cone} = 18 $ cm. Vamos substituir $ r_c $ na equação:
rc = 2rcone
Calculando o quadrado:
hcone = 18
Podemos dividir ambos os lados por $ r_{cone}^2 $:
rc
(2rcone)^2 hc = 2 rcone^2 times 18
4rcone^2 hc = 36 rcone^2 cm

Passo 6

Agora que temos $ h_c = 9 $ cm, vamos voltar à equação do Passo 3:
hc = 9
rc hc = 36
rc times 9 = 36
rc = 369 cm
Lembrando que $ r_c = 2r_{cone} $:
rc = 4
rc = 2rcone
2rcone = 4 cm

Resposta

A medida do raio da base do cone é 2 cm.

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