1. A área lateral de um cilindro equilátero é 100 \pi \mathrm{~cm}^{2}. Calcular a área total e o volume.

Passo 1

O enunciado dá a área lateral de um cilindro equilátero igual a 100\pi\\ \mathrm{cm}^2 e pede para calcular a área total e o volume. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Área lateral: A_{lat}=100\pi\\ \mathrm{cm}^2.
  • O sólido é um cilindro equilátero. Aqui usaremos a definição padrão: para um cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base. Logo, se r é o raio da base e h a altura, temos h=2r.
  • Precisamos encontrar: a área total A_{tot} e o volume V.

Passo 2

Anotemos as fórmulas básicas do cilindro e o que cada variável significa (isso é importante para usar na prova):
  • Área lateral: \;A_{lat}=2\pi r h, onde r é o raio da base e h é a altura. Essa fórmula vem de “perímetro da base \times altura”: 2\pi r é o perímetro do círculo, multiplicado por h.
  • Área da base: \;A_{base}=\pi r^2. É a área de um círculo de raio r.
  • Área total: \;A_{tot}=A_{lat}+2A_{base}. Soma da superfície lateral com as duas bases.
  • Volume: \;V=A_{base}\cdot h=\pi r^2 h. Volume é área da base vezes altura.

Passo 3

Como o cilindro é equilátero, substituímos h=2r na fórmula da área lateral para expressar A_{lat} só em função de r. Faça a substituição:
A_{lat}=2\pi r h=2\pi r\cdot(2r)=4\pi r^2.
Isso simplifica o problema porque agora podemos achar r diretamente a partir de A_{lat}.

Passo 4

Igualamos a expressão obtida para A_{lat} ao valor dado e resolvemos para r:
4\pi r^2 = 100\pi.
Dividindo ambos os lados por \;4\pi\; (note que \pi cancela porque é positivo):
r^2 = \frac{100\pi}{4\pi}=\frac{100}{4}=25.
Tirando a raiz quadrada e tomando a raiz positiva (raio é comprimento, não negativo):
r=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Agora encontramos a altura usando h=2r:
h=2r=2\cdot 5=10\\ \mathrm{cm}.
Anote sempre as unidades — importante na prova!

Passo 6

Calcule a área da base com o raio encontrado:
A_{base}=\pi r^2=\pi\cdot 5^2=\pi\cdot 25=25\pi\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 7

Calcule a área total usando A_{tot}=A_{lat}+2A_{base}. Lembre que A_{lat} foi dado como 100\pi:
A_{tot}=100\pi + 2\cdot 25\pi =100\pi +50\pi =150\pi\\ \mathrm{cm}^2.
Sempre some áreas com as mesmas unidades; aqui todas têm fator \pi, facilita a conta.

Passo 8

Calcule o volume usando V=\pi r^2 h:
V=\pi\cdot 5^2 \cdot 10 =\pi\cdot 25\cdot 10 =250\pi\\ \mathrm{cm}^3.
Volume tem unidade cúbica, por isso \mathrm{cm}^3.

Passo 9

Resumo rápido do método para usar na prova: ao ver “cilindro equilátero” já pense em h=2r. Com A_{lat} você pode usar A_{lat}=4\pi r^2 (obtido substituindo h=2r em 2\pi r h), resolver para r, depois calcular A_{tot} e V com as fórmulas padrão. Isso reduz o trabalho e evita confusão.

Resposta

A_{total}=150\pi\\ \mathrm{cm}^2
V=250\pi\\ \mathrm{cm}^3

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