- A área lateral de um cilindro equilátero é
. Calcular a área total e o volume.
Passo 1
O enunciado dá a área lateral de um cilindro equilátero igual a
e pede para calcular a área total e o volume. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Área lateral:
. - O sólido é um cilindro equilátero. Aqui usaremos a definição padrão: para um cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base. Logo, se
é o raio da base e a altura, temos . - Precisamos encontrar: a área total
e o volume .
Passo 2
Anotemos as fórmulas básicas do cilindro e o que cada variável significa (isso é importante para usar na prova):
- Área lateral:
, onde é o raio da base e é a altura. Essa fórmula vem de “perímetro da base altura”: é o perímetro do círculo, multiplicado por . - Área da base:
. É a área de um círculo de raio . - Área total:
. Soma da superfície lateral com as duas bases. - Volume:
. Volume é área da base vezes altura.
Passo 3
Como o cilindro é equilátero, substituímos
na fórmula da área lateral para expressar
só em função de
. Faça a substituição:
Isso simplifica o problema porque agora podemos achar
diretamente a partir de
.
Passo 4
Igualamos a expressão obtida para
ao valor dado e resolvemos para
:
Dividindo ambos os lados por
(note que
cancela porque é positivo):
Tirando a raiz quadrada e tomando a raiz positiva (raio é comprimento, não negativo):
Passo 5
Agora encontramos a altura usando
:
Anote sempre as unidades — importante na prova!
Passo 6
Calcule a área da base com o raio encontrado:
Passo 7
Calcule a área total usando
. Lembre que
foi dado como
:
Sempre some áreas com as mesmas unidades; aqui todas têm fator
, facilita a conta.
Passo 8
Calcule o volume usando
:
Volume tem unidade cúbica, por isso
.
Passo 9
Resumo rápido do método para usar na prova: ao ver “cilindro equilátero” já pense em
. Com
você pode usar
(obtido substituindo
em
), resolver para
, depois calcular
e
com as fórmulas padrão. Isso reduz o trabalho e evita confusão.